Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có chuỗi:

\[
A = \frac{4}{1 \times 3} + \frac{4}{3 \times 5} + \frac{4}{5 \times 7} + \cdots + \frac{4}{99 \times 101}
\]

Mỗi số hạng trong chuỗi có dạng:

\[
\frac{4}{n(n+2)}
\]

Bây giờ, ta sẽ phân tích mỗi số hạng này bằng cách dùng phân tích phân số từng phần:

\[
\frac{4}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}
\]

Nhân cả hai vế với \(n(n+2)\), ta được:

\[
4 = A(n+2) + Bn
\]

Mở rộng vế phải:

\[
4 = An + 2A + Bn
\]

So sánh các hệ số của \(n\) và các hằng số, ta có:

\[
A + B = 0 \quad \text{và} \quad 2A = 4
\]

Giải hệ phương trình trên, ta được:

\[
A = 2, \quad B = -2
\]

Vậy, ta có thể viết lại mỗi số hạng như sau:

\[
\frac{4}{n(n+2)} = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+2}
\]

Chuỗi trở thành:

\[
A = \left( \frac{2}{1} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{99} - \frac{2}{101} \right)
\]

Đây là một chuỗi lồng nhau, trong đó hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu. Sau khi triệt tiêu, ta còn lại:

\[
A = 2 - \frac{2}{101}
\]

Do đó, giá trị của \(A\) là:

\[
A = 2 - \frac{2}{101} = \frac{202}{101} = 2.0
\]

Vậy, \(A = 2\).

...Xem thêm

Answer 2