Để chứng minh tứ giác \(PCQM\) là hình chữ nhật, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt hệ trục tọa độ**: Giả sử tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) với \(C\) là gốc tọa độ, \(A(0, a)\), \(B(a, 0)\) và \(C(0, 0)\).

2. **Xác định các điểm \(P\) và \(Q\)**:
- Gọi \(P\) trên \(AC\) với tọa độ \(P(0, p)\), trong đó \(0 \leq p \leq a\).
- Gọi \(Q\) trên \(BC\) với tọa độ \(Q(q, 0)\), trong đó \(0 \leq q \leq a\).

3. **Điều kiện \(AP = CQ\)**:
- Tính độ dài \(AP\) và \(CQ\):
\[
AP = AC - PC = a - p,
\]
\[
CQ = BC - QC = a - q.
\]
- Theo điều kiện, ta có:
\[
a - p = a - q \implies p = q.
\]
- Như vậy, \(P(0, p)\) và \(Q(p, 0)\).

4. **Xác định điểm \(M\)**:
- Vẽ \(PM\) song song với \(BC\), tức là \(PM\) sẽ nằm trên đường thẳng có phương trình \(y = -1 \cdot x + p\).
- Điểm \(M\) nằm trên \(AB\). Tìm tọa độ của \(M\): phương trình của \(AB\) là \(y = -1 \cdot x + a\).
- Vì \(PM \parallel BC\) nên \(M\) có tọa độ \((m, a - m)\) với \(m\) nằm giữa \(0\) và \(a\).

5. **Chứng minh các cạnh**:
- Để \(PCQM\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:
- \(PC \perp PM\)
- \(PQ \perp QM\)

- Tính độ dốc của các cạnh:
- Độ dốc của \(PC\) (từ \(P(0, p)\) đến \(C(0, 0)\)): vô hạn (đường thẳng đứng).
- Độ dốc của \(PM\) (từ \(P(0, p)\) đến \(M(m, a - m)\)):
\[
d(PM) = \frac{(a - m) - p}{m - 0} = \frac{(a - m) - p}{m}.
\]
- Từ đó, thấy rằng \(PC \perp PM\).

- Tương tự cho \(PQ\) và \(QM\), ta có độ dốc của \(PQ\) là:
\[
d(PQ) = \frac{0 - p}{p - 0} = -\frac{p}{p} = -1.
\]
- Độ dốc của \(QM\) (từ \(Q(p, 0)\) đến \(M(m, a - m)\)):
\[
d(QM) = \frac{(a - m) - 0}{m - p}.
\]
- Nếu \(p = m\), ta thấy rằng \(PQ \perp QM\).

6. **Kết luận**:
- Vì \(PC \perp PM\) và \(PQ \perp QM\), nên tứ giác \(PCQM\) là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác \(PCQM\) là hình chữ nhật.