Để chứng minh rằng \( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \) chia hết cho 5, ta sẽ tính từng số hạng modulo 5.

**Bước 1: Tính \( 81^7 \mod 5 \)**

Ta có:
\[
81 \equiv 1 \mod 5
\]
Vậy:
\[
81^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \mod 5
\]

**Bước 2: Tính \( 27^9 \mod 5 \)**

Ta có:
\[
27 \equiv 2 \mod 5
\]
Vậy:
\[
27^9 \equiv 2^9 \mod 5
\]
Ta tính \( 2^9 \mod 5 \):
\[
2^1 \equiv 2 \mod 5
\]
\[
2^2 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
2^3 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
2^4 \equiv 1 \mod 5
\]
Do đó, chu kỳ của \( 2^n \mod 5 \) là 4. Ta có:
\[
9 \mod 4 \equiv 1
\]
Vậy:
\[
2^9 \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
\]

**Bước 3: Tính \( 9^{13} \mod 5 \)**

Ta có:
\[
9 \equiv 4 \mod 5
\]
Vậy:
\[
9^{13} \equiv 4^{13} \mod 5
\]
Ta tính \( 4^{13} \mod 5 \):
\[
4^1 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
4^2 \equiv 1 \mod 5
\]
Do đó, chu kỳ của \( 4^n \mod 5 \) cũng là 2. Ta có:
\[
13 \mod 2 \equiv 1
\]
Vậy:
\[
4^{13} \equiv 4^1 \equiv 4 \mod 5
\]

**Bước 4: Tính \( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \mod 5 \)**

Giờ ta có:
\[
81^7 - 27^9 - 9^{13} \equiv 1 - 2 - 4 \mod 5
\]
\[
\equiv 1 - 2 - 4 \equiv 1 - 6 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Vậy \( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \) chia hết cho 5.

**Kết luận:**
\( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \equiv 0 \mod 5 \), tức là chia hết cho 5.

Để chứng minh rằng \( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \) chia hết cho 5, ta sẽ sử dụng đồng dư để tính toán từng thành phần của biểu thức này.

### Bước 1: Đưa các số về dạng đồng dư mod 5

**Tính \( 81^7 \mod 5 \)**:
\[
81 \equiv 1 \mod 5 \quad \text{(vì } 81 = 5 \times 16 + 1\text{)}
\]
Vậy:
\[
81^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \mod 5
\]

**Tính \( 27^9 \mod 5 \)**:
\[
27 \equiv 2 \mod 5 \quad \text{(vì } 27 = 5 \times 5 + 2\text{)}
\]
Vậy:
\[
27^9 \equiv 2^9 \mod 5
\]
Ta tính \( 2^9 \mod 5 \):
\[
2^1 \equiv 2 \mod 5 \\
2^2 \equiv 4 \mod 5 \\
2^3 \equiv 3 \mod 5 \\
2^4 \equiv 1 \mod 5 \text{ (chu kỳ 4)}
\]
Do đó, \( 2^9 \) sẽ tương đương với \( 2^{9 \mod 4} = 2^1 \equiv 2 \mod 5 \).

**Tính \( 9^{13} \mod 5 \)**:
\[
9 \equiv 4 \mod 5
\]
Vậy:
\[
9^{13} \equiv 4^{13} \mod 5
\]
Ta cũng tính \( 4^{13} \mod 5 \):
\[
4^1 \equiv 4 \mod 5 \\
4^2 \equiv 1 \mod 5 \text{ (chu kỳ 2)}
\]
Do đó, \( 4^{13} \) sẽ tương đương với \( 4^{13 \mod 2} = 4^1 \equiv 4 \mod 5 \).

### Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu

Giờ ta có:
\[
81^7 - 27^9 - 9^{13} \equiv 1 - 2 - 4 \mod 5
\]
\[
\equiv 1 - 2 - 4 \equiv -5 \equiv 0 \mod 5
\]

### Kết luận
Vậy \( 81^7 - 27^9 - 9^{13} \) chia hết cho 5.