Bài 1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
a) 2x ≡ 1 (mod 31) b) 3x ≡ 1 (mod 13)
c) 10x ≡ 1 (mod 13) d) 7x ≡ 1 (mod 19)
Bài 2. Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) 32021 khi chia cho 13. b) 10368 khi chia cho 13.
c) 22024 khi chia cho 31. d) 32024+42024 khi chia cho 11.
Bài 3. Chứng minh rằng 42022−1 và 42023+1 đều là bội của 5.
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2+14 là số nguyên tố.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
a) 4.52n+15.6n chia hết cho 19. b) 11n+7n−2n−1 chia hết cho 15.
Bài 6. Tìm số dư trong phép chia:
a) 9910 khi chia cho 10. b) 201420152016 khi chia cho 13.
làm cả 6 bài giúp mình với
Quảng cáo
1 câu trả lời 493
Để tìm số nguyên dương nhỏ nhất cho các phương trình đồng dư, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nghịch đảo modulo.
### a) \( 2x \equiv 1 \mod 31 \)
Ta cần tìm \( x \) sao cho \( 2x - 1 = 31k \) cho một số nguyên \( k \).
Áp dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghịch đảo của \( 2 \) modulo \( 31 \):
1. \( 31 = 2 \times 15 + 1 \)
2. \( 2 = 1 \times 2 + 0 \)
Từ \( 1 = 31 - 2 \times 15 \), ta có:
\[
2 \times (-15) \equiv 1 \mod 31
\]
Do đó, nghịch đảo của \( 2 \) modulo \( 31 \) là \( -15 \). Chuyển về số dương:
\[
-15 \equiv 16 \mod 31
\]
Vậy số nguyên dương nhỏ nhất là:
\[
x = 16
\]
### b) \( 3x \equiv 1 \mod 13 \)
Tìm nghịch đảo của \( 3 \) modulo \( 13 \):
1. \( 13 = 4 \times 3 + 1 \)
2. \( 3 = 3 \times 1 + 0 \)
Từ \( 1 = 13 - 4 \times 3 \):
\[
3 \times (-4) \equiv 1 \mod 13
\]
Chuyển về số dương:
\[
-4 \equiv 9 \mod 13
\]
Vậy số nguyên dương nhỏ nhất là:
\[
x = 9
\]
### c) \( 10x \equiv 1 \mod 13 \)
Tìm nghịch đảo của \( 10 \) modulo \( 13 \):
1. \( 13 = 1 \times 10 + 3 \)
2. \( 10 = 3 \times 3 + 1 \)
3. \( 3 = 3 \times 1 + 0 \)
Từ \( 1 = 10 - 1 \times 3 \) và \( 3 = 13 - 1 \times 10 \):
Thay \( 3 \) vào, ta có:
\[
1 = 10 - 1 \times (13 - 1 \times 10) = 2 \times 10 - 1 \times 13
\]
Vậy:
\[
10 \times 2 \equiv 1 \mod 13
\]
Số nguyên dương nhỏ nhất là:
\[
x = 2
\]
### d) \( 7x \equiv 1 \mod 19 \)
Tìm nghịch đảo của \( 7 \) modulo \( 19 \):
1. \( 19 = 2 \times 7 + 5 \)
2. \( 7 = 1 \times 5 + 2 \)
3. \( 5 = 2 \times 2 + 1 \)
4. \( 2 = 2 \times 1 + 0 \)
Từ \( 1 = 5 - 2 \times 2 \), và thay \( 2 = 7 - 5 \):
\[
1 = 5 - 2 \times (7 - 5) = 3 \times 5 - 2 \times 7
\]
Và thay \( 5 = 19 - 2 \times 7 \):
\[
1 = 3 \times (19 - 2 \times 7) - 2 \times 7 = 3 \times 19 - 8 \times 7
\]
Vậy:
\[
7 \times (-8) \equiv 1 \mod 19
\]
Chuyển về số dương:
\[
-8 \equiv 11 \mod 19
\]
Vậy số nguyên dương nhỏ nhất là:
\[
x = 11
\]
### Kết luận
- a) \( x = 16 \)
- b) \( x = 9 \)
- c) \( x = 2 \)
- d) \( x = 11 \)
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK120578
-
81263
-
59365
-
I miss you
4255 điểm
-
` ✧`
2735 điểm
-
Judy Hopps
1410 điểm
-
⋆˚࿔ neuemla... 𝜗𝜚˚
1360 điểm
-
bích hồng nguyễn 1080 điểm
-
iu vk vãi cak
735 điểm
-
`color{red}text{HuyTùng`
530 điểm
-
`\color{pink}\text{d.`
520 điểm
-
chê ng tốt chốt ng tồi.
460 điểm
-
(┬┬﹏┬┬) 𝙻𝚘𝚟𝚎𝚒𝚜𝚝𝚛𝚞𝚎💔
450 điểm
-
chao.ngdep
445 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
415 điểm
-
Haruto[pad] 395 điểm
-
lạnh ôm jet (:
380 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4926
