Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cho các phần A và B.

### A. Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi

**Chứng minh:**

1. **Vị trí các điểm:**
- Cho tứ giác ABCD là hình bình hành, với AB = AC.
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Gọi E là điểm nằm trên tia đối của tia MA và ME = MA.

2. **Xét các cạnh:**
- Tứ giác ABEC có bốn cạnh: AB, BE, EC, và CA.
- Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.
- Từ điều kiện AB = AC, ta sẽ chứng minh rằng các cạnh AB, BE, EC, và CA bằng nhau.

3. **Cạnh AB và CA:**
- Bởi vì AB = AC, nên ta có:
\[
AB = AC
\]

4. **Cạnh BE:**
- Xét tam giác AME. Vì E nằm trên tia đối của MA với ME = MA, nên tam giác AME là tam giác đều. Suy ra:
\[
AE = AM
\]
- Do đó, BE (từ B đến E) và AM (từ A đến M) có độ dài bằng nhau.

5. **Cạnh EC:**
- Tương tự, ta cũng có thể chỉ ra rằng EC = AE (do những lập luận tương tự) làm cho EC = BE.

6. **Kết luận:**
- Vì AB = AC, BE = EC, và các đoạn AE = AM. Ta chứng minh được tất cả các cạnh đều bằng nhau, tức là:
\[
AB = BE = EC = AC
\]
- Vậy tứ giác ABEC là hình thoi.

### B. Chứng minh C là trung điểm của DE

**Chứng minh:**

1. **Gọi điểm D:**
- Gọi G là trung điểm của DE; chúng ta sẽ chứng minh rằng C = G.

2. **Xét độ dài:**
- Z sử dụng dấu hiệu từ A đến D và cả các xuống trung điểm của E đến A với C mà là trung điểm.
- Chúng ta đã chứng minh rằng ABEC là hình thoi có nghĩa là nó có tất cả các cạnh bằng nhau. Do đó:
\[
AC = AE
\]
- Từ đó có thể phát hiện:
\[
DE = EC + CD
\]
tỉnh Modi tự xem xét việc sử dụng tên trung điểm của điểm C.

3. **Kết luận:**
- Bởi vì E nằm trên đoạn thẳng tự nhiên, ta chỉ ra rằng C chính xác là vị trí giữa đoạn DE và do đó là trung điểm của DE.

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán, chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi và C là trung điểm của DE.