### Câu a)

Ta có biểu thức:

$\frac{2^{18} \cdot 18^7 \cdot 3^3 + 3^{15} \cdot 2^{36}}{2^{10} \cdot 6^{15}} + 3^{14} \cdot 25 \cdot 4^{13}$

Ta sẽ tiến hành đơn giản hóa từng phần của biểu thức này:

#### Phần tử số: $2^{18} \cdot 18^7 \cdot 3^3 + 3^{15} \cdot 2^{36}$

- $18 = 2 \cdot 3^2$, nên:
$18^7 = (2 \cdot 3^2)^7 = 2^7 \cdot 3^{14}$
Vậy:
$2^{18} \cdot 18^7 \cdot 3^3 = 2^{18} \cdot 2^7 \cdot 3^{14} \cdot 3^3 = 2^{25} \cdot 3^{17}$

- $3^{15} \cdot 2^{36}$ giữ nguyên.

Vậy tổng của tử số là:
$2^{25} \cdot 3^{17} + 3^{15} \cdot 2^{36}$

#### Phần mẫu: $2^{10} \cdot 6^{15}$

- $6 = 2 \cdot 3$, nên:
$6^{15} = (2 \cdot 3)^{15} = 2^{15} \cdot 3^{15}$
Vậy phần mẫu trở thành:
$2^{10} \cdot 2^{15} \cdot 3^{15} = 2^{25} \cdot 3^{15}$

#### Đơn giản hóa phần đầu của biểu thức:

Ta có:
$\frac{2^{25} \cdot 3^{17} + 3^{15} \cdot 2^{36}}{2^{25} \cdot 3^{15}} = 2^0 \cdot 3^2 + 2^{11} = 9 + 2^{11} = 9 + 2048 = 2057$

#### Phần thứ hai của biểu thức: $3^{14} \cdot 25 \cdot 4^{13}$

- $4 = 2^2$, nên:
$4^{13} = (2^2)^{13} = 2^{26}$

Vậy phần thứ hai là:
$3^{14} \cdot 25 \cdot 2^{26}$

#### Tổng biểu thức:

Tổng cuối cùng là:
$2057 + 3^{14} \cdot 25 \cdot 2^{26}$

Đây là kết quả đã đơn giản, nhưng việc tính giá trị chính xác của $3^{14} \cdot 25 \cdot 2^{26}$ có thể được tính bằng máy tính.

---

### Câu b)

Ta có tổng:

$\frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{x(x + 4)} = \frac{45}{44}$

Đây là một chuỗi theo dạng tổng số hạng dạng $\frac{2}{n(n+2)}$. Chúng ta sẽ tìm công thức tổng quát cho tổng này.

Số hạng tổng quát có dạng:

$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{A}{n} - \frac{B}{n+2}$

Sử dụng phân tích phân số thành phần để tách:

$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$

Vì đây là chuỗi telesope (chuỗi rút gọn), các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và ta chỉ cần giữ lại các số hạng đầu và cuối. Nếu chuỗi có $k$ số hạng, ta có:

$S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right)$

Kết quả sẽ là:

$S = 1 - \frac{1}{x+2}$

Theo đề bài, tổng này bằng $\frac{45}{44}$, do đó:

$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{45}{44}$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x+2} = 1 - \frac{45}{44} = \frac{1}{44}$

Suy ra:

$x + 2 = 44 \quad \Rightarrow \quad x = 42$

Vậy $x = 42$.