Để giải các bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tổng của chuỗi số học.

### a. Tìm $x$ cho tổng $1 + 6 + \ldots + (5x + 1) = 403$

Chuỗi này có hạng tử đầu là $1$ và hạng tử cuối là $5x + 1$. Ta thấy các hạng tử có thể được viết dưới dạng:

- Hạng tử thứ nhất: $1$
- Hạng tử thứ hai: $6 = 1 + 5$
- Hạng tử thứ ba: $11 = 6 + 5$
- Hạng tử thứ $n$: $1 + 5(n-1)$

Từ đó, hạng tử thứ $n$ có thể được viết thành:

$a_n = 5(n-1) + 1 = 5n - 4$

Để tìm số hạng $n$, ta đặt $5n - 4 = 5x + 1$:

$5n = 5x + 5 \implies n = x + 1$

Tổng của chuỗi số học được tính bằng công thức:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

Với $a_1 = 1$ và $a_n = 5x + 1$:

$S_n = \frac{n}{2}(1 + (5x + 1)) = \frac{n}{2}(5x + 2)$

Thay $n = x + 1$ vào:

$S_n = \frac{x + 1}{2}(5x + 2) = \frac{(x + 1)(5x + 2)}{2}$

Giải phương trình:

$\frac{(x + 1)(5x + 2)}{2} = 403$

Nhân cả hai vế với 2:

$(x + 1)(5x + 2) = 806$

Mở rộng ra:

$5x^2 + 7x + 2 = 806$

Giải phương trình bậc 2:

$5x^2 + 7x - 804 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-804)}}{2 \cdot 5}$

Tính $b^2 - 4ac$:

$7^2 + 4 \cdot 5 \cdot 804 = 49 + 16080 = 16029$

Tính nghiệm:

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{16029}}{10}$

$\sqrt{16029} \approx 126.5$ (làm tròn)

$x \approx \frac{-7 + 126.5}{10} \approx 11.95$

Do đó, $x$ gần nhất là $11$.

### b. Tìm $x$ cho tổng $2 + 5 + 8 + \ldots + (3x + 1) = 400$

Chuỗi này có hạng tử đầu là $2$ và hạng tử cuối là $3x + 1$. Hạng tử thứ $n$ có thể được viết như sau:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1$

Để tìm số hạng $n$, ta đặt $3n - 1 = 3x + 1$:

$3n = 3x + 2 \implies n = x + \frac{2}{3}$

Tuy nhiên, $n$ phải là số nguyên, do đó $x$ phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $x$ phải là một số nguyên.

Tổng của chuỗi số học được tính bằng công thức:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

Với $a_1 = 2$ và $a_n = 3x + 1$:

$S_n = \frac{n}{2}(2 + (3x + 1)) = \frac{n}{2}(3x + 3) = \frac{3n}{2}(x + 1)$

Thay $n = x + \frac{2}{3}$:

$S_n = \frac{3(x + \frac{2}{3})}{2}(x + 1) = \frac{3}{2}(x + 1)(x + \frac{2}{3})$

Giải phương trình:

$\frac{3}{2}(x + 1)(x + \frac{2}{3}) = 400$

Nhân cả hai vế với $2$:

$3(x + 1)(x + \frac{2}{3}) = 800$

Mở rộng ra:

$3(x^2 + \frac{5x}{3} + \frac{2}{3}) = 800 \implies 3x^2 + 5x + 2 = \frac{800}{3}$

Nhân cả hai vế với $3$:

$9x^2 + 15x + 6 = 800 \implies 9x^2 + 15x - 794 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm:

$x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-794)}}{2 \cdot 9}$

Tính $b^2 - 4ac$:

$15^2 + 4 \cdot 9 \cdot 794 = 225 + 28536 = 28761$

Tính nghiệm:

$x = \frac{-15 \pm \sqrt{28761}}{18}$

$\sqrt{28761} \approx 169.6$

$x \approx \frac{-15 + 169.6}{18} \approx 8.6$

Do đó, $x$ gần nhất là $8$.

### Kết quả

- $x$ trong a gần nhất là $11$.
- $x$ trong b gần nhất là $8$.

Để giải quyết các bài toán tìm x, chúng ta sẽ phân tích các chu số học trong từng trường hợp.

### Bài a: $1 + 6 + ... + (5x + 1) = 403$

Trước tiên, ta cần hiểu rõ dãy số này Dãy số gồm các số có công sai là $5$ và bắt đầu từ $1$.

Công thức tổng quát cho số hạng thứ n của dãy số này là:
$a_n = 1 + 5(n-1) = 5n - 4$

Theo đó, số hạng cuối cùng của dãy là $5x + 1$, ta có:
$5n - 4 = 5x + 1$
$5n = 5x + 5 \quad \Rightarrow \quad n = x + 1$

Tính tổng các số hạng từ 1 đến $5n - 4$. Tổng số hạng của một dãy số học được tính theo công thức:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$
Với $n = x + 1$, $a_1 = 1$, $a_n = 5(x + 1) - 4 = 5x + 1$:
$S_{x + 1} = \frac{x + 1}{2} \cdot (1 + (5x + 1))$
$= \frac{x + 1}{2} \cdot (5x + 2) = \frac{(x + 1)(5x + 2)}{2}$

Thiết lập phương trình:
$\frac{(x + 1)(5x + 2)}{2} = 403$
$(x + 1)(5x + 2) = 806$

Mở rộng và đưa về phương trình bậc 2:
$5x^2 + 2x + 5x + 2 = 806$
$5x^2 + 7x + 2 - 806 = 0$
$5x^2 + 7x - 804 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-804)}}{2 \cdot 5}$
$= \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 16080}}{10} = \frac{-7 \pm \sqrt{16129}}{10}$
$= \frac{-7 \pm 127}{10}$
Ta có hai nghiệm:
$x_1 = \frac{120}{10} = 12 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-134}{10} = -13.4 \quad (\text{loại})$
Vậy nghiệm của x trong bài a là:
$\boxed{12}$

### Bài b: $2 + 5 + 8 + ... + (3x + 1) = 400$

Dãy số này bắt đầu từ $2$ và có công sai là $3$.

Số hạng thứ n của dãy số này là:
$a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$

Số hạng cuối cùng là $3x + 1$, ta có:
$3n - 1 = 3x + 1$
$3n = 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad n = x + \frac{2}{3}$
(Ở đây n phải là một số nguyên, do đó $x$ cần là một số nguyên có dạng $k - \frac{2}{3}$)

Tính tổng:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (2 + (3x + 1)) = \frac{n}{2} \cdot (3x + 3) = \frac{n(3x + 3)}{2}$

Thiết lập phương trình:
$\frac{n(3x + 3)}{2} = 400 \quad \Rightarrow \quad n(3x + 3) = 800$

Thay $n = x + \frac{2}{3}$:
$\left(x + \frac{2}{3}\right)(3x + 3) = 800$
$3x^2 + 3x + 2x + 2 = 800$
$3x^2 + 5x + 2 - 800 = 0$
$3x^2 + 5x - 798 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-798)}}{2 \cdot 3}$
$= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 9576}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{9601}}{6}$
Tính gần đúng giá trị của $\sqrt{9601}$ (khoảng 98), ta có:
$x = \frac{-5 \pm 98}{6}$
Nghiệm:
$x_1 = \frac{93}{6} = 15.5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-103}{6} \quad (\text{loại})$

Vậy nghiệm của x trong bài b là:
$\boxed{15}$

Tóm lại, kết quả cho x trong hai bài toán là:
a) $x = 12$
b) $x = 15$

Để giải quyết các bài toán tìm x, chúng ta sẽ phân tích các chu số học trong từng trường hợp.

 Bài a: 1+6+...+(5x+1)=4031+6+...+(5x+1)=403

Trước tiên, ta cần hiểu rõ dãy số này Dãy số gồm các số có công sai là 55 và bắt đầu từ 11.

Công thức tổng quát cho số hạng thứ n của dãy số này là:
an=1+5(n−1)=5n−4an=1+5(n−1)=5n−4

Theo đó, số hạng cuối cùng của dãy là 5x+15x+1, ta có:
5n−4=5x+15n−4=5x+1
5n=5x+5⇒n=x+15n=5x+5⇒n=x+1

Tính tổng các số hạng từ 1 đến 5n−45n−4. Tổng số hạng của một dãy số học được tính theo công thức:
Sn=n2⋅(a1+an)Sn=n2⋅(a1+an)
Với n=x+1n=x+1, a1=1a1=1, an=5(x+1)−4=5x+1an=5(x+1)−4=5x+1:
Sx+1=x+12⋅(1+(5x+1))Sx+1=x+12⋅(1+(5x+1))
=x+12⋅(5x+2)=(x+1)(5x+2)2=x+12⋅(5x+2)=(x+1)(5x+2)2

Thiết lập phương trình:
(x+1)(5x+2)2=403(x+1)(5x+2)2=403
(x+1)(5x+2)=806(x+1)(5x+2)=806

Mở rộng và đưa về phương trình bậc 2:
5x2+2x+5x+2=8065x2+2x+5x+2=806
5x2+7x+2−806=05x2+7x+2−806=0
5x2+7x−804=05x2+7x−804=0

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
x=−b±√b2−4ac2a=−7±√72−4⋅5⋅(−804)2⋅5x=−b±b2−4ac2a=−7±72−4⋅5⋅(−804)2⋅5
=−7±√49+1608010=−7±√1612910=−7±49+1608010=−7±1612910
=−7±12710=−7±12710
Ta có hai nghiệm:
x1=12010=12vàx2=−13410=−13.4(loại)x1=12010=12vàx2=−13410=−13.4(loại)
Vậy nghiệm của x trong bài a là:
1212

### Bài b: 2+5+8+...+(3x+1)=4002+5+8+...+(3x+1)=400

Dãy số này bắt đầu từ 22 và có công sai là 33.

Số hạng thứ n của dãy số này là:
an=2+3(n−1)=3n−1an=2+3(n−1)=3n−1

Số hạng cuối cùng là 3x+13x+1, ta có:
3n−1=3x+13n−1=3x+1
3n=3x+2⇒n=x+233n=3x+2⇒n=x+23
(Ở đây n phải là một số nguyên, do đó xx cần là một số nguyên có dạng k−23k−23)

Tính tổng:
Sn=n2⋅(a1+an)=n2⋅(2+(3x+1))=n2⋅(3x+3)=n(3x+3)2Sn=n2⋅(a1+an)=n2⋅(2+(3x+1))=n2⋅(3x+3)=n(3x+3)2

Thiết lập phương trình:
n(3x+3)2=400⇒n(3x+3)=800n(3x+3)2=400⇒n(3x+3)=800

Thay n=x+23n=x+23:
(x+23)(3x+3)=800(x+23)(3x+3)=800
3x2+3x+2x+2=8003x2+3x+2x+2=800
3x2+5x+2−800=03x2+5x+2−800=0
3x2+5x−798=03x2+5x−798=0

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
x=−5±√52−4⋅3⋅(−798)2⋅3x=−5±52−4⋅3⋅(−798)2⋅3
=−5±√25+95766=−5±√96016=−5±25+95766=−5±96016
Tính gần đúng giá trị của √96019601 (khoảng 98), ta có:
x=−5±986x=−5±986
Nghiệm:
x1=936=15.5vàx2=−1036(loại)x1=936=15.5vàx2=−1036(loại)

Vậy nghiệm của x trong bài b là:
1515

Tóm lại, kết quả cho x trong hai bài toán là:
a) x=12x=12
b) x=15x=15