Để giải bài toán này, ta sẽ khai thác tính chất của hình học phẳng và các tính chất của tứ giác liên quan đến các điểm trung điểm.

### a) Chứng minh tứ giác ADCN là hình bình hành

**Tứ giác ADCN sẽ là hình bình hành nếu như AC || DN và AD = CN.**

1. Do $M$ là trung điểm của $ND$, ta có $NM = MD$.
2. Từ định nghĩa của trung tuyến, $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$, tức là $G$ chia $BM$ thành $BG$ và $GM$, và $CN$ thành $CG$ và $GN$. Do đó, ta có $BG = GM$ và $CG = GN$.
3. Sử dụng trung điểm và tính chất đồng phương:
- Vì $G$ là giao điểm của các trung tuyến, $G$ được chia theo tỉ lệ $2:1$, dẫn đến:
$\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1} \implies AD = CN$

Từ đó, ta có $AC || DN$ và $AD = CN$, suy ra tứ giác $ADCN$ là hình bình hành.

### b) Chứng minh AQBM là hình bình hành

**Tứ giác AQBM sẽ là hình bình hành nếu như AB || QN và AQ = BM.**

1. Khi $N$ là trung điểm của $MQ$, nên $M$ và $Q$ đối xứng qua $N$.
- Do đó, có thể viết $N$ là trung điểm của $MQ$, suy ra $MN = NC$.
2. Tính chất của các đường trung tuyến:
- Vì $BM$ là trung tuyến, nó chia tam giác $ABC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau, do đó $AB || QN$.
3. Từ đó, ta có $AQ = BM$ (các đoạn này có độ dài bằng nhau vì cả hai đều là trung tuyến).

Vậy $AQBM$ là hình bình hành.

### c) Tứ giác BNMC là hình gì? Chứng minh

Tứ giác $BNMC$ là hình thoi.

1. Dựa vào định nghĩa hình thoi, ta cần chứng minh hai cạnh đối của $BNMC$ bằng nhau:
- Ta đã có $BM = CN$ (do cả hai đều là các đoạn trung tuyến trong các tam giác).
- Mặt khác, do tính chất của đường trung tuyến, ta có:
$BN = MC$

2. Như vậy:
- Đoạn $BN$ song song và bằng với đoạn $MC$.
- Đoạn $BM$ song song và bằng với đoạn $NC$.

Kết luận, tứ giác $BNMC$ có tất cả các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, từ đó ta suy ra $BNMC$ là hình thoi.

Nếu cần thêm thông tin hay chỉ dẫn mở rộng nào khác, bạn có thể hỏi thêm!