Để giải bài toán này, ta sẽ khai thác tính chất của hình học phẳng và các tính chất của tứ giác liên quan đến các điểm trung điểm.

### a) Chứng minh tứ giác ADCN là hình bình hành

**Tứ giác ADCN sẽ là hình bình hành nếu như AC || DN và AD = CN.**

1. Do \( M \) là trung điểm của \( ND \), ta có \( NM = MD \).
2. Từ định nghĩa của trung tuyến, \( BM \) và \( CN \) cắt nhau tại \( G \), tức là \( G \) chia \( BM \) thành \( BG \) và \( GM \), và \( CN \) thành \( CG \) và \( GN \). Do đó, ta có \( BG = GM \) và \( CG = GN \).
3. Sử dụng trung điểm và tính chất đồng phương:
- Vì \( G \) là giao điểm của các trung tuyến, \( G \) được chia theo tỉ lệ \( 2:1 \), dẫn đến:
\[
\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1} \implies AD = CN
\]

Từ đó, ta có \( AC || DN \) và \( AD = CN \), suy ra tứ giác \( ADCN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh AQBM là hình bình hành

**Tứ giác AQBM sẽ là hình bình hành nếu như AB || QN và AQ = BM.**

1. Khi \( N \) là trung điểm của \( MQ \), nên \( M \) và \( Q \) đối xứng qua \( N \).
- Do đó, có thể viết \( N \) là trung điểm của \( MQ \), suy ra \( MN = NC \).
2. Tính chất của các đường trung tuyến:
- Vì \( BM \) là trung tuyến, nó chia tam giác \( ABC \) thành hai phần có diện tích bằng nhau, do đó \( AB || QN \).
3. Từ đó, ta có \( AQ = BM \) (các đoạn này có độ dài bằng nhau vì cả hai đều là trung tuyến).

Vậy \( AQBM \) là hình bình hành.

### c) Tứ giác BNMC là hình gì? Chứng minh

Tứ giác \( BNMC \) là hình thoi.

1. Dựa vào định nghĩa hình thoi, ta cần chứng minh hai cạnh đối của \( BNMC \) bằng nhau:
- Ta đã có \( BM = CN \) (do cả hai đều là các đoạn trung tuyến trong các tam giác).
- Mặt khác, do tính chất của đường trung tuyến, ta có:
\[
BN = MC
\]

2. Như vậy:
- Đoạn \( BN \) song song và bằng với đoạn \( MC \).
- Đoạn \( BM \) song song và bằng với đoạn \( NC \).

Kết luận, tứ giác \( BNMC \) có tất cả các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, từ đó ta suy ra \( BNMC \) là hình thoi.

Nếu cần thêm thông tin hay chỉ dẫn mở rộng nào khác, bạn có thể hỏi thêm!