Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{1 - \cos(2x)}{1 + 3\sin(2x)} \) khi \( \cot a = \frac{2}{5} \), ta cần liên kết giữa \( \cot a \) với các hàm lượng giác khác.

### Bước 1: Tính \( \sin(a) \) và \( \cos(a) \)

Ta có:

\[
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{2}{5}
\]

Vậy:

\[
\sin a = 5k \quad \text{và} \quad \cos a = 2k
\]

Theo định lý Pythagore:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow (5k)^2 + (2k)^2 = 1 \Rightarrow 25k^2 + 4k^2 = 1 \Rightarrow 29k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{29} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{29}}
\]

Do đó:

\[
\sin a = \frac{5}{\sqrt{29}}, \quad \cos a = \frac{2}{\sqrt{29}}
\]

### Bước 2: Tính \( \sin(2x) \) và \( \cos(2x) \)

Sử dụng công thức nhân đôi:

\[
\sin(2x) = 2\sin x \cos x \quad \text{và} \quad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x
\]

### Bước 3: Tính \( A \)

Ta sẽ thay giá trị của \( \sin(2x) \) và \( \cos(2x) \) vào biểu thức \( A \):

1. **Tính \( 1 - \cos(2x) \)**:
\[
1 - \cos(2x) = 1 - (\cos^2 x - \sin^2 x) = 1 - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x + (1 - \cos^2 x) = \sin^2 x + \sin^2 x = 2\sin^2 x
\]

2. **Tính \( 1 + 3\sin(2x) \)**:
\[
1 + 3\sin(2x) = 1 + 3(2\sin x \cos x) = 1 + 6\sin x \cos x
\]

### Bước 4: Thay vào biểu thức \( A \)

Biểu thức giờ trở thành:

\[
A = \frac{2\sin^2 x}{1 + 6\sin x \cos x}
\]

### Bước 5: Thay \( \sin x \) và \( \cos x \)

Giả sử \( \sin x = 5k \) và \( \cos x = 2k \), với \( k = \frac{1}{\sqrt{29}} \):

\[
\sin x = \frac{5}{\sqrt{29}}, \quad \cos x = \frac{2}{\sqrt{29}}
\]

### Bước 6: Tính giá trị của \( A \)

1. **Tính \( \sin^2 x \)**:
\[
\sin^2 x = \left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)^2 = \frac{25}{29}
\]

2. **Tính \( 6\sin x \cos x \)**:
\[
6\sin x \cos x = 6 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} = 6 \cdot \frac{10}{29} = \frac{60}{29}
\]

3. **Tính \( A \)**:
\[
A = \frac{2 \cdot \frac{25}{29}}{1 + \frac{60}{29}} = \frac{\frac{50}{29}}{\frac{29 + 60}{29}} = \frac{50}{89}
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{\frac{50}{89}}
\]