Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các điều kiện cho trước.

Giả sử \( u_n \) là một cấp số cộng, với công sai là \( d \) và số hạng đầu là \( u_1 \).

Ta có các điều kiện:

1. \( u_2 + u_3 = 0 \)
2. \( u_2 + u_5 = 80 \)

**Bước 1: Viết biểu thức cho các số hạng**

\[
u_2 = u_1 + d
\]
\[
u_3 = u_1 + 2d
\]
\[
u_5 = u_1 + 4d
\]

**Bước 2: Áp dụng điều kiện 1**

Từ điều kiện 1:

\[
u_2 + u_3 = 0 \Rightarrow (u_1 + d) + (u_1 + 2d) = 0
\]
\[
2u_1 + 3d = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u_1 = -3d \quad \Rightarrow \quad u_1 = -\frac{3d}{2}
\]

**Bước 3: Áp dụng điều kiện 2**

Từ điều kiện 2:

\[
u_2 + u_5 = 80 \Rightarrow (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 80
\]
\[
2u_1 + 5d = 80
\]

**Bước 4: Thay \( u_1 \) vào phương trình**

Thay \( u_1 = -\frac{3d}{2} \) vào phương trình trên:

\[
2\left(-\frac{3d}{2}\right) + 5d = 80
\]
\[
-3d + 5d = 80
\]
\[
2d = 80 \quad \Rightarrow \quad d = 40
\]

**Bước 5: Tính \( u_1 \)**

Thay \( d = 40 \) vào biểu thức cho \( u_1 \):

\[
u_1 = -\frac{3 \times 40}{2} = -60
\]

**Bước 6: Tính \( u_{15} \) và \( S_{30} \)**

1. Tính \( u_{15} \):

\[
u_{15} = u_1 + 14d = -60 + 14 \times 40 = -60 + 560 = 500
\]

2. Tính \( S_{30} \):

Công thức tổng của cấp số cộng:

\[
S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n)
\]

Với \( n = 30 \) và \( u_{30} = u_1 + 29d \):

\[
u_{30} = -60 + 29 \times 40 = -60 + 1160 = 1100
\]

Do đó:

\[
S_{30} = \frac{30}{2} (-60 + 1100) = 15 \times 1040 = 15600
\]

**Kết quả:**
- \( u_1 = -60 \)
- \( d = 40 \)
- \( u_{15} = 500 \)
- \( S_{30} = 15600 \)