Để chứng minh đẳng thức \(\frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \cos^2 a\), ta bắt đầu từ vế trái của đẳng thức và thực hiện các phép biến đổi:

\[
\frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a}
\]

Theo định nghĩa của \(\sin^2 a\) trong lượng giác, ta biết rằng:

\[
1 - \cos^2 a = \sin^2 a
\]

Vậy, chúng ta có thể thay \(1 - \cos^2 a\) bằng \(\sin^2 a\):

\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Biểu thức này có thể được viết lại thành:

\[
\tan^2 a
\]

Tuy nhiên, chúng ta cần trở về với định dạng ban đầu của chúng ta. Do đó, ta có thể tiếp tục:

Giả sử vế phải là \(\cos^2 a\), thì biểu thức trở thành:

\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a
\]

Và không khớp với \(\cos^2 a\).

### Chứng minh chính xác

Quay lại biểu thức ban đầu:

\[
\frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Bây giờ, ta muốn biết khi nào mà:

\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \cos^2 a
\]

Thực hiện phép biến đổi:

\[
\sin^2 a = \cos^4 a
\]

Áp dụng định nghĩa lượng giác, ta có:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

Thay \(\sin^2 a = \cos^4 a\):

\[
\cos^4 a + \cos^2 a = 1
\]

Đặt \(x = \cos^2 a\), ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 + x - 1 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Nghiệm này không có giá trị dương nằm trong khoảng [0,1]. Do đó, biểu thức ban đầu không đúng trong mọi trường hợp.

### Kết luận

Tuy nhiên, nếu bạn đang yêu cầu chứng minh cho biểu thức:

\[
\frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a
\]

Điều đó đúng. Nhưng đẳng thức \(\frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \cos^2 a\) là không chính xác trong mọi trường hợp.

Nếu cần thêm hỗ trợ hoặc câu hỏi khác, hãy cho tôi biết!