Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng định lý về vector và tối ưu hóa.

### Bước 1: Thiết lập tọa độ.

Giả sử tam giác đều \( ABC \) có \( A(0, \frac{8\sqrt{3}}{3}) \), \( B(-4, 0) \), \( C(4, 0) \).

### Bước 2: Xác định vector.

- Gọi \( M(m, 0) \) là điểm trên đường thẳng \( BC \), với \( -4 \leq m \leq 4 \).
- Các vector:
- \( \vec{MA} = (m - 0, 0 - \frac{8\sqrt{3}}{3}) = (m, -\frac{8\sqrt{3}}{3}) \)
- \( \vec{MB} = (m + 4, 0) \)
- \( \vec{MC} = (m - 4, 0) \)

### Bước 3: Tính tổng vector.

Ta có:
\[
\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} = (m, -\frac{8\sqrt{3}}{3}) + (m + 4, 0) + 2(m - 4, 0)
\]
\[
= (m + m + 4 + 2m - 8, -\frac{8\sqrt{3}}{3})
\]
\[
= (4m - 4, -\frac{8\sqrt{3}}{3})
\]

### Bước 4: Tính độ dài của vector này.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của giá trị tuyệt đối này, ta tính:
\[
| \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} | = \sqrt{(4m - 4)^2 + \left(-\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{(4m - 4)^2 + \frac{64}{3}}
\]

### Bước 5: Tối ưu hóa độ dài.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( | \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} | \), ta cần quan tâm đến phần \( (4m - 4)^2 \):
- Giá trị nhỏ nhất của phần này đạt được khi \( m = 1 \) (vì \( 4m - 4 = 0 \)), tức là \( m = 1 \).

### Bước 6: Tính độ dài đoạn \( MC \).

Khi \( M \) ở \( m = 1 \):
- Độ dài \( MC = |1 - 4| = 3 \).

### Kết luận:

Độ dài của đoạn thẳng \( MC \) khi \( | \vec{MA} + \vec{MB} + 2 \vec{MC} | \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( \boxed{3} \).