Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + n \) là một số chính phương, ta giả sử \( n^2 + n = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Ta có:
\[
n^2 + n - k^2 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai với dạng \( an^2 + bn + c = 0 \), trong đó:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -k^2 \)

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Thay vào ta có:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4k^2}}{2}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, thì \( -1 + \sqrt{1 + 4k^2} \) phải là một số chẵn và lớn hơn hoặc bằng 0.

### Bước 1: Đặt điều kiện
\[
\sqrt{1 + 4k^2} \text{ phải là số nguyên.}
\]
Giả sử \( \sqrt{1 + 4k^2} = m \) với \( m \) là số nguyên, ta có:
\[
m^2 = 1 + 4k^2 \implies m^2 - 4k^2 = 1
\]
Đây là một phương trình Pell, có dạng \( x^2 - 4y^2 = 1 \), với \( x = m \) và \( y = k \).

### Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình Pell
Phương trình Pell này có nghiệm cơ bản là \( (x_1, y_1) = (1, 0) \) và nghiệm tiếp theo là:
\[
(3, 1)
\]
Từ nghiệm này, các nghiệm tiếp theo có thể được tạo ra bằng công thức:
\[
(x_n + y_n\sqrt{4}) = (3 + 1\sqrt{4})^n
\]

Từ đó, ta có thể tính ra các cặp \( (x_n, y_n) \) tiếp theo và tìm ra giá trị của \( k \).

### Bước 3: Kiểm tra các giá trị của \( k \)
Với các giá trị của \( k \):
- Khi \( k = 0 \): \( n^2 + n = 0 \Rightarrow n(n + 1) = 0 \) ⇒ \( n = 0 \).
- Khi \( k = 1 \): \( n^2 + n = 1 \Rightarrow n(n + 1) = 1 \) ⇒ \( n = 1 \).
- Khi \( k = 2 \): \( n^2 + n = 4 \Rightarrow n(n + 1) = 4 \) ⇒ \( n = 2 \).
- Khi \( k = 3 \): \( n^2 + n = 9 \Rightarrow n(n + 1) = 9 \) ⇒ không có số nguyên.
- Tương tự cho các giá trị lớn hơn \( k \).

### Kết luận
Các giá trị tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + n \) là số chính phương là:
- \( n = 0 \)
- \( n = 1 \)
- \( n = 2 \)

Vậy, các số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( 0, 1, 2 \).

...Xem thêm

Answer 2