Để giải bài toán \( \alpha = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \), với điều kiện \( 10\pi < \alpha < 11\pi \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đặt phương trình cho \(\alpha\)
Ta có:
\[
\alpha = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi
\]
Với \( 10\pi < \alpha < 11\pi \).

### Bước 2: Thay \(\alpha\) vào bất phương trình
Thay \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\) vào bất phương trình \( 10\pi < \alpha < 11\pi \):
\[
10\pi < \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi < 11\pi
\]

### Bước 3: Trừ \(\frac{\pi}{2}\) khỏi tất cả các vế
Ta trừ \(\frac{\pi}{2}\) từ cả ba vế của bất phương trình:
\[
10\pi - \frac{\pi}{2} < k \cdot 2\pi < 11\pi - \frac{\pi}{2}
\]
Tính toán hai vế:
\[
10\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{20\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{19\pi}{2}
\]
\[
11\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{22\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{21\pi}{2}
\]
Do đó, ta có bất phương trình:
\[
\frac{19\pi}{2} < k \cdot 2\pi < \frac{21\pi}{2}
\]

### Bước 4: Chia hai vế cho \(2\pi\)
Chia cả ba vế cho \(2\pi\) để đơn giản hóa:
\[
\frac{19}{2} < k < \frac{21}{2}
\]
Tính giá trị:
\[
\frac{19}{2} = 9.5 \quad \text{và} \quad \frac{21}{2} = 10.5
\]

### Bước 5: Kết luận giá trị \(k\)
Từ bất phương trình \( 9.5 < k < 10.5 \), ta suy ra \(k = 10\).

### Kết luận:
Giá trị của \(k\) là \(k = 10\).