Để giải phương trình:

\[
\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} = 1
\]

ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của các phân số là \((x-1)(x+1)\).

### Bước 2: Đưa các phân số về mẫu số chung

Viết lại các phân số với mẫu số chung:

\[
\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 1
\]

### Bước 3: Cộng các phân số

Kết hợp các phân số:

\[
\frac{x(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 1
\]

### Bước 4: Rút gọn tử số

Tính toán tử số:

\[
x(x+1) + 2(x-1) = x^2 + x + 2x - 2 = x^2 + 3x - 2
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 + 3x - 2}{(x-1)(x+1)} = 1
\]

### Bước 5: Giải phương trình

Nhân cả hai vế với mẫu số \((x-1)(x+1)\) để loại bỏ mẫu số:

\[
x^2 + 3x - 2 = (x-1)(x+1)
\]

Mở rộng vế phải:

\[
(x-1)(x+1) = x^2 - 1
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x^2 + 3x - 2 = x^2 - 1
\]

### Bước 6: Rút gọn và giải phương trình

Trừ \(x^2\) từ cả hai vế:

\[
3x - 2 = -1
\]

Thêm 2 vào cả hai vế:

\[
3x = 1
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
x = \frac{1}{3}
\]

### Bước 7: Kiểm tra nghiệm

Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào phương trình gốc để kiểm tra:

\[
\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-1} + \frac{2}{\frac{1}{3}+1}
\]

Tính từng phần:

\[
\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}
\]

Thay vào phương trình:

\[
-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1
\]

Điều này đúng, vì vậy nghiệm \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm chính xác của phương trình.

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{1}{3}
\]