Để tìm tất cả các số nguyên \( x \) sao cho phân số \(\frac{x^2 - 5}{x^2 - 2}\) có giá trị là số nguyên, chúng ta cần điều kiện phân số này phải là số nguyên.

Gọi \(\frac{x^2 - 5}{x^2 - 2} = k\), trong đó \( k \) là một số nguyên. Chúng ta sẽ giải phương trình này như sau:

1. **Viết phương trình:**
\[
\frac{x^2 - 5}{x^2 - 2} = k
\]

2. **Nhân hai vế với \(x^2 - 2\) để bỏ mẫu số:**
\[
x^2 - 5 = k(x^2 - 2)
\]

3. **Mở rộng và đơn giản hóa:**
\[
x^2 - 5 = kx^2 - 2k
\]
\[
x^2 - kx^2 = -2k + 5
\]
\[
(1 - k)x^2 = -2k + 5
\]
\[
x^2 = \frac{-2k + 5}{1 - k}
\]

4. **Tìm điều kiện để \( x^2 \) là số nguyên dương:**
Để \(x^2\) là một số nguyên không âm, biểu thức \(\frac{-2k + 5}{1 - k}\) phải là một số nguyên không âm. Do đó, mẫu số \(1 - k\) phải chia hết cho tử số \(-2k + 5\).

5. **Kiểm tra các giá trị của \(k\):**
- Nếu \( k = 0 \):
\[
x^2 = \frac{-2(0) + 5}{1 - 0} = 5
\]
\(5\) không phải là một số chính phương, vì vậy không có giá trị nguyên cho \(x\) trong trường hợp này.

- Nếu \( k = 1 \):
\[
x^2 = \frac{-2(1) + 5}{1 - 1} = \frac{3}{0}
\]
Phân số không xác định, vì vậy không có giá trị nguyên cho \(x\) trong trường hợp này.

- Nếu \( k = 2 \):
\[
x^2 = \frac{-2(2) + 5}{1 - 2} = \frac{-4 + 5}{-1} = \frac{1}{-1} = -1
\]
\(-1\) không phải là số chính phương.

- Nếu \( k = -1 \):
\[
x^2 = \frac{-2(-1) + 5}{1 - (-1)} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}
\]
\(\frac{7}{2}\) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = 3 \):
\[
x^2 = \frac{-2(3) + 5}{1 - 3} = \frac{-6 + 5}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}
\]
\(\frac{1}{2}\) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = -2 \):
\[
x^2 = \frac{-2(-2) + 5}{1 - (-2)} = \frac{4 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]
\(x^2 = 3\), và \(\sqrt{3}\) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = 4 \):
\[
x^2 = \frac{-2(4) + 5}{1 - 4} = \frac{-8 + 5}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1
\]
\(x^2 = 1\), và \(\sqrt{1} = \pm 1\).

6. **Kết luận:**
Sau khi kiểm tra các giá trị, chúng ta tìm thấy rằng khi \(k = 4\), \(x^2 = 1\) với nghiệm \(x = \pm 1\) là số nguyên.

Vì vậy, các số nguyên \(x\) sao cho phân số \(\frac{x^2 - 5}{x^2 - 2}\) có giá trị là số nguyên là \(x = 1\) và \(x = -1\).