Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để so sánh tổng số \( S = \frac{1}{3^1} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{2024}{3^{2024}} \) với số \( \frac{3}{4} \), ta cần tính toán tổng \( S \) và so sánh với \( \frac{3}{4} \).

### 1. Tính tổng \( S \)

Tổng \( S \) có dạng tổng của dãy số dạng:
\[ S = \sum_{n=1}^{2024} \frac{n}{3^n} \]

Để tính tổng của dãy này, ta sử dụng một phương pháp toán học đặc biệt. Đầu tiên, ta tính tổng của tổng số vô hạn:
\[ T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} \]

### Tổng của dãy số vô hạn

Để tính tổng này, ta sử dụng công thức tổng của một dãy số hình học có điều kiện:

\[
T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}
\]

với \( r = 3 \). Đầu tiên, ta biết tổng của dãy số hình học cơ bản:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \text{ cho } |x| < 1
\]

Sau đó, ta lấy đạo hàm của cả hai vế theo \( x \):
\[
\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}
\]

Nhân với \( x \):
\[
x \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{x}{(1-x)^2}
\]

Thay \( x = \frac{1}{3} \):
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 - \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4}
\]

### Tổng một phần của dãy

Ta đã tính tổng của dãy số vô hạn \( T \), và tổng đến n phần có thể được tính bằng cách trừ đi phần còn lại của tổng vô hạn từ tổng một phần của dãy số:
\[
S_{2024} = \sum_{n=1}^{2024} \frac{n}{3^n}
\]

Vì tổng \( \sum_{n=2025}^{\infty} \frac{n}{3^n} \) rất nhỏ so với tổng \( \frac{3}{4} \), ta có thể ước lượng rằng:
\[
S_{2024} \approx \frac{3}{4}
\]

### So sánh với \( \frac{3}{4} \)

Vì \( S_{2024} \) rất gần với \( \frac{3}{4} \) nhưng không đạt tới giá trị này hoàn toàn (vì tổng một phần của dãy số vô hạn có phần còn lại nhỏ), ta có thể kết luận rằng:

\[
S_{2024} < \frac{3}{4}
\]

**Kết luận:**
Tổng \( \frac{1}{3^1} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{2024}{3^{2024}} \) nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).

...Xem thêm

Answer 2