Để xử lý bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Tính giá trị trung bình của khối lượng

**Dữ liệu đo được:**

\[ 1, 2, 3, 4, 4.2, 4.2, 4.4, 4.2 \]

Để tính giá trị trung bình, ta thực hiện các bước sau:

- **Tính tổng các giá trị đo được:**

\[
1 + 2 + 3 + 4 + 4.2 + 4.2 + 4.4 + 4.2 = 28
\]

- **Tính số lượng các giá trị:**

\[
n = 8
\]

- **Tính giá trị trung bình:**

\[
\text{Giá trị trung bình} = \frac{\text{Tổng các giá trị}}{\text{Số lượng giá trị}} = \frac{28}{8} = 3.5 \text{ kg}
\]

### 2. Tính sai số tuyệt đối

**Sai số tuyệt đối** là độ lệch giữa giá trị đo và giá trị trung bình. Để tính sai số tuyệt đối, ta cần tính sai số tuyệt đối của từng giá trị so với giá trị trung bình, sau đó lấy giá trị lớn nhất của chúng.

- **Tính sai số tuyệt đối cho từng giá trị:**

\[
\begin{aligned}
&|1 - 3.5| = 2.5 \\
&|2 - 3.5| = 1.5 \\
&|3 - 3.5| = 0.5 \\
&|4 - 3.5| = 0.5 \\
&|4.2 - 3.5| = 0.7 \\
&|4.2 - 3.5| = 0.7 \\
&|4.4 - 3.5| = 0.9 \\
&|4.2 - 3.5| = 0.7 \\
\end{aligned}
\]

- **Sai số tuyệt đối lớn nhất** là 2.5 kg.

**Sai số tuyệt đối (Δ) = 2.5 kg**

### 3. Viết kết quả đo

**Giá trị trung bình:** \(3.5 \text{ kg}\)

**Sai số tuyệt đối:** \(0.1 \text{ kg}\) (Đây là độ chính xác của cân; tức là sai số tuyệt đối mà cân có thể đạt được.)

**Viết kết quả đo:**
\[
\text{Khối lượng đo được} = 3.5 \pm 0.1 \text{ kg}
\]

### 4. Tính sai số tỉ đối

**Sai số tỉ đối** được tính bằng cách chia sai số tuyệt đối cho giá trị trung bình.

\[
\text{Sai số tỉ đối} = \frac{\text{Sai số tuyệt đối}}{\text{Giá trị trung bình}} = \frac{0.1}{3.5} \approx 0.0286
\]

**Sai số tỉ đối = 0.0286** (hay 2.86%)

### Tổng kết

- **Giá trị trung bình:** \(3.5 \text{ kg}\)
- **Sai số tuyệt đối:** \(0.1 \text{ kg}\)
- **Viết kết quả đo:** \(3.5 \pm 0.1 \text{ kg}\)
- **Sai số tỉ đối:** \(0.0286\) (hoặc 2.86%)

Để chứng minh rằng \( A < \frac{1}{2} \), trước tiên ta nhận thấy rằng \( A \) là một tổng của dãy số hình học:

\[ A = \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \cdots + \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \]

Đây là một tổng của dãy số hình học với số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{3} \) và tỷ số \( r = \frac{1}{3} \). Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của dãy số hình học là:

\[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r} \]

Trong trường hợp của chúng ta:

- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( r = \frac{1}{3} \)
- \( n = 49 \)

Áp dụng công thức vào tổng \( A \):

\[ A = \frac{1}{3} \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49}}{1 - \frac{1}{3}} \]

Tính giá trị của mẫu số \( 1 - \frac{1}{3} \):

\[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Thay vào công thức tổng:

\[ A = \frac{1}{3} \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49}}{\frac{2}{3}} \]

Rút gọn biểu thức:

\[ A = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \right) \]

\[ A = \frac{1}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \right) \]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A < \frac{1}{2} \). Xem xét biểu thức:

\[ A = \frac{1}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \right) \]

Vì \( \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \) là một số dương rất nhỏ (bởi vì \( \frac{1}{3} < 1 \) và lũy thừa của một số nhỏ hơn 1 sẽ càng nhỏ), nên \( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \) sẽ gần bằng 1.

Vì vậy:

\[ \frac{1}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \right) < \frac{1}{2} \]

Suy ra:

\[ A < \frac{1}{2} \]

Vì \( \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \) là một số dương cực nhỏ, nên:

\[ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \]
luôn nhỏ hơn 1, và
\[ \frac{1}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{49} \right) < \frac{1}{2} \]

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[ A < \frac{1}{2} \]