Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng của một dãy số có dạng:

\[
S = \frac{5}{1.2 \cdot 0.3} + \frac{5}{2.3 \cdot 0.4} + \frac{5}{3.4 \cdot 0.5} + \cdots + \frac{5}{18 \cdot 19 \cdot 20}
\]

### Phân tích tổng của dãy số

Xét tổng:

\[
S = \sum_{n=1}^{17} \frac{5}{n(n+1)(n+2)}
\]

Trước tiên, chúng ta cần tìm cách đơn giản hóa từng phân tử của tổng. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích phân số thành tổng của các phân số đơn giản hơn.

### Phân tích phân số

Đầu tiên, phân tích từng phân số:

\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
\]

Ta sẽ phân tích phân số này bằng cách sử dụng phân tích thành tổng của các phân số đơn giản hơn:

\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}
\]

Tìm \( A \), \( B \), và \( C \) bằng cách nhân hai vế với \( n(n+1)(n+2) \):

\[
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
\]

Để tìm các giá trị của \( A \), \( B \), và \( C \), ta sẽ thay các giá trị thích hợp vào:

1. Đặt \( n = 0 \):

\[
1 = A \cdot 1 \cdot 2
\]

\[
A = \frac{1}{2}
\]

2. Đặt \( n = -1 \):

\[
1 = B(-1) \cdot 1
\]

\[
B = -1
\]

3. Đặt \( n = -2 \):

\[
1 = C(-2) \cdot (-1)
\]

\[
C = \frac{1}{2}
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}
\]

### Tính tổng

Ta có:

\[
\frac{5}{n(n+1)(n+2)} = 5 \left(\frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}\right)
\]

Tính tổng từ \( n = 1 \) đến \( n = 17 \):

\[
S = \sum_{n=1}^{17} 5 \left(\frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}\right)
\]

Tổng các phần tử là:

\[
S = 5 \left(\frac{1/2}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{3} + \frac{1/2}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1/2}{4} + \cdots + \frac{1/2}{17} - \frac{1}{18} + \frac{1/2}{19}\right)
\]

Hầu hết các hạng tử trong chuỗi này sẽ bị triệt tiêu vì là chuỗi tĩnh tiến. Ta chỉ cần tính các hạng tử đầu và cuối:

\[
S = 5 \left(\frac{1/2}{1} + \frac{1/2}{2} - \frac{1}{18} + \frac{1/2}{19}\right)
\]

Tính:

\[
\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1/2}{19} \approx \frac{1}{38}
\]

\[
S = 5 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{18} + \frac{1}{38}\right)
\]

Tính tổng trong ngoặc:

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]

\[
\frac{3}{4} - \frac{1}{18} = \frac{27 - 1}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}
\]

\[
\frac{13}{18} + \frac{1}{38} \approx \frac{13 \cdot 38 + 18}{18 \cdot 38} = \frac{494 + 18}{684} = \frac{512}{684} \approx \frac{256}{342} \approx 0.75
\]

Vậy:

\[
S \approx 5 \times \frac{256}{342} = 5 \times 0.75 = 3.75
\]

### Kết luận

Tổng của dãy số là \( \boxed{5} \).