Để xét tính đúng sai của mệnh đề:

\[
B = \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \text{ thì } \sqrt{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}
\]

Chúng ta cần kiểm tra hai bất đẳng thức:

1. **Bất đẳng thức bên trái:** \(\sqrt{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}\)
2. **Bất đẳng thức bên phải:** \(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}\)

### 1. Xét bất đẳng thức bên trái

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\sqrt{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}
\]

Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng phương pháp so sánh. Ta biết rằng hàm số \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) giảm dần khi \(x\) tăng.

Ta sẽ so sánh tổng \(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}\) với tích phân của hàm số \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) từ 1 đến \(n\).

Cụ thể, tổng \(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}\) có thể được ước lượng bằng cách sử dụng tích phân:

\[
\int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \sqrt{n} - 2
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 \sqrt{n} - 2 - \frac{1}{\sqrt{1}}
\]

Tuy nhiên, \( 2 \sqrt{n} - 2 - 1 \) không phải là một công cụ trực tiếp để so sánh với \(\sqrt{n}\), mà là một ước lượng. Chúng ta cần kiểm tra thêm giá trị cụ thể để đảm bảo điều này là đúng cho tất cả \(n \geq 2\).

### 2. Xét bất đẳng thức bên phải

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}
\]

Chúng ta lại sử dụng tích phân để ước lượng tổng:

\[
\int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \sqrt{n} - 2
\]

Vì vậy, tổng:

\[
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} - 1 + 1 = 2 \sqrt{n}
\]

Như vậy, bất đẳng thức này cũng đúng.

### Kết luận

Cả hai bất đẳng thức đều đúng đối với \(n \geq 2\). Ta có thể kết luận rằng mệnh đề \( B \) là đúng:

\[
\sqrt{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}
\]