Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = |x^3 - 3x^2 + m| \) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 trên đoạn \([-2, 3]\). Sau đó, chúng ta sẽ tính tổng của hai giá trị \( m \) thỏa mãn điều kiện đó.

### 1. Xét điều kiện \( |x^3 - 3x^2 + m| \) đạt giá trị nhỏ nhất là 2

Hàm số \( y = |x^3 - 3x^2 + m| \) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 nghĩa là hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối \( f(x) = x^3 - 3x^2 + m \) đạt giá trị \( \pm 2 \) tại ít nhất một số điểm trong đoạn \([-2, 3]\).

### 2. Xác định giá trị \( f(x) \) tại các điểm đặc biệt và các điểm cực trị

Tính \( f(x) = x^3 - 3x^2 \) tại các điểm cần thiết trong đoạn \([-2, 3]\):

- Tại \( x = -2 \):
\[
f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 = -8 - 12 = -20
\]

- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0
\]

- Tại \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4
\]

- Tại \( x = 3 \):
\[
f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 = 27 - 27 = 0
\]

### 3. Tính các giá trị của \( m \) sao cho \( |x^3 - 3x^2 + m| \) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

Để \( |x^3 - 3x^2 + m| = 2 \), ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: \( x^3 - 3x^2 + m = 2 \)
\[
m = 2 - (x^3 - 3x^2)
\]

- Trường hợp 2: \( x^3 - 3x^2 + m = -2 \)
\[
m = -2 - (x^3 - 3x^2)
\]

Tính giá trị \( m \) cho từng điểm:

- Tại \( x = -2 \):
\[
m = 2 - (-20) = 22
\]
\[
m = -2 - (-20) = 18
\]

- Tại \( x = 0 \):
\[
m = 2 - 0 = 2
\]
\[
m = -2 - 0 = -2
\]

- Tại \( x = 2 \):
\[
m = 2 - (-4) = 6
\]
\[
m = -2 - (-4) = 2
\]

- Tại \( x = 3 \):
\[
m = 2 - 0 = 2
\]
\[
m = -2 - 0 = -2
\]

### 4. Xác định giá trị \( m \) để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 trên toàn đoạn

Các giá trị \( m \) xuất hiện là \( 22, 18, 6, 2, -2 \). Trong số đó, giá trị \( m \) sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại ít nhất một điểm là:

- \( m = 2 \)
- \( m = -2 \)

### 5. Tính tổng hai giá trị của \( m \)

Tổng của hai giá trị \( m \) là:
\[
2 + (-2) = 0
\]

Vậy, tổng của hai giá trị \( m \) là \( 0 \).