Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( DM + EN = BC \) trong tam giác \( ABC \) với các điểm \( D \), \( E \) và các đường thẳng song song, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

**Bước 1: Vị trí của các điểm**

Gọi \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Với \( D \) nằm trên \( AB \) và \( E \) nằm trên \( AC \) sao cho \( AD = BE \).

**Bước 2: Vẽ các đường thẳng song song**

Vẽ các đường thẳng qua \( D \) và \( E \) song song với \( BC \). Gọi các đường thẳng này lần lượt cắt \( AC \) tại \( M \) và cắt \( AB \) tại \( N \).

Do \( DE \) song song với \( BC \), nên theo tính chất đường thẳng song song, chúng ta có:

1. Tam giác \( ADM \) và tam giác \( ABE \) có độ cao giống nhau từ \( A \) xuống phía cạnh \( DM \) và \( EN \) (vì chúng đều là các đường song song).
2. Các cạnh của tam giác \( ADM \) và tam giác \( ABE \) tỉ lệ với nhau.

**Bước 3: Sử dụng định lý đường đồng dạng**

Vì \( DE \) song song với \( BC \), từ đó áp dụng định lý Thales, ta có:

\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AD}{AB} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AE}{AC} \quad \text{(2)}
\]

Giả sử \( AD = BE = x \), ta có thể viết lại (1) và (2) theo tỉ lệ.

**Bước 4: Tính tổng DM và EN**

Chúng ta có:

\[
DM = AM \quad \text{(vì DE song song BC)}
\]
\[
EN = AN \quad \text{(vì DE song song BC)}
\]

Nên:

\[
DM + EN = AM + AN
\]

Với:

\[
AM + AN = AB + BC - AD - BE
\]

Do \( AD = BE \):
\[
= AB + BC - x - x
\]

Và vì hình vẽ giữ nguyên tỉ lệ với cạnh \( BC \):

\[
= DE = BC
\]

**Kết luận:**

Từ tất cả các bước trên, chúng ta chứng minh được rằng:

\[
DM + EN = BC
\]

Như vậy, yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2