Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một cách chi tiết.

### a Chứng minh tứ giác \(DNMK\) là hình chữ nhật

Trong tam giác \(DEF\) vuông tại \(D\), ta có:

- \(DM\) là đường trung tuyến từ \(D\) đến \(EF\).
- \(MN\) vuông góc với \(DE\) tại \(N\), tức là \(\angle DMN = 90^\circ\).
- \(MK\) vuông góc với \(DF\) tại \(K\), tức là \(\angle DKM = 90^\circ\).

Để chứng minh \(DNMK\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện là song song và có độ dài bằng nhau.

1. **Chứng minh \(DN\) song song với \(MK\)**:

Từ giả thiết, ta đã có \(DM \perp MN\), vì vậy \(DN \perp DE\). Đồng thời, \(MK\) cũng vuông góc với \(DF\). Vậy \(DN \perp MK\).

2. **Chứng minh \(NC\) song song với \(DK\)**:

Tương tự, \(DK \perp DF\) và \(MK \perp DF\) nên \(DK \parallel MN\).

Do đó, \(DNMK\) là hình chữ nhật vì:
- \(DN \perp MK\)
- \(DK \perp MN\).

### b) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(DF\)

Trong tam giác vuông \(DEF\) tại \(D\), \(M\) là trung điểm của \(EF\) (đường trung tuyến). Ta đã biết rằng \(N\) là điểm mà từ \(M\) kẻ vuông góc hạ xuống cạnh \(DE\).

Khả năng \(K\) là trung điểm của \(DF\) sẽ được chứng minh thông qua điểm \(H\):

1. Xét tứ giác \(DMK\). Vì nó là hình chữ nhật, \(DH = NK = DN\).

2. Do \(H\) là điểm nằm trên tia đối của phía \(NM\), từ đó kéo dài, ta có:
- \(DH = DK\).

3. Khi \(K\) là trung điểm của \(DF\), gia tăng tài liệu cho thấy với các vòng tròn đường kính \(DF\) và các điểm thuộc \(D\) với tính chất vuông của các tam giác, chúng sẽ chứng minh \(K\) là trung điểm của đoạn \(DF\).

### c) Chứng minh ba điểm \(H\), \(O\), \(F\) thẳng hàng

Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn \(DM\).

1. **Tính chiều dài các đoạn**:
- \(DM = DF\)
- \(H\) là điểm đối xứng với \(N\) qua \(M\), và \(N\) trên đường chéo của hình chữ nhật.

2. **Vậy \(HF = O\)**:
- \(OH\) bằng với tổng của chiều cao xuống \(D\) và điểm xác định giữa \(DF\).

Vì vậy, \(H\), \(O\), và \(F\) thẳng hàng.

### Kết luận

- **(a)** Tứ giác \(DNMK\) là hình chữ nhật.
- **(b)** Điểm \(K\) là trung điểm của \(DF\).
- **(c)** Ba điểm \(H\), \(O\), và \(F\) thẳng hàng.

Nếu bạn cần bất kỳ thông tin nào khác, hãy cho tôi biết!