Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một cách chi tiết.

### a Chứng minh tứ giác $DNMK$ là hình chữ nhật

Trong tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta có:

- $DM$ là đường trung tuyến từ $D$ đến $EF$.
- $MN$ vuông góc với $DE$ tại $N$, tức là $\angle DMN = 90^\circ$.
- $MK$ vuông góc với $DF$ tại $K$, tức là $\angle DKM = 90^\circ$.

Để chứng minh $DNMK$ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện là song song và có độ dài bằng nhau.

1. **Chứng minh $DN$ song song với $MK$**:

Từ giả thiết, ta đã có $DM \perp MN$, vì vậy $DN \perp DE$. Đồng thời, $MK$ cũng vuông góc với $DF$. Vậy $DN \perp MK$.

2. **Chứng minh $NC$ song song với $DK$**:

Tương tự, $DK \perp DF$ và $MK \perp DF$ nên $DK \parallel MN$.

Do đó, $DNMK$ là hình chữ nhật vì:
- $DN \perp MK$
- $DK \perp MN$.

### b) Chứng minh $K$ là trung điểm của $DF$

Trong tam giác vuông $DEF$ tại $D$, $M$ là trung điểm của $EF$ (đường trung tuyến). Ta đã biết rằng $N$ là điểm mà từ $M$ kẻ vuông góc hạ xuống cạnh $DE$.

Khả năng $K$ là trung điểm của $DF$ sẽ được chứng minh thông qua điểm $H$:

1. Xét tứ giác $DMK$. Vì nó là hình chữ nhật, $DH = NK = DN$.

2. Do $H$ là điểm nằm trên tia đối của phía $NM$, từ đó kéo dài, ta có:
- $DH = DK$.

3. Khi $K$ là trung điểm của $DF$, gia tăng tài liệu cho thấy với các vòng tròn đường kính $DF$ và các điểm thuộc $D$ với tính chất vuông của các tam giác, chúng sẽ chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn $DF$.

### c) Chứng minh ba điểm $H$, $O$, $F$ thẳng hàng

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $DM$.

1. **Tính chiều dài các đoạn**:
- $DM = DF$
- $H$ là điểm đối xứng với $N$ qua $M$, và $N$ trên đường chéo của hình chữ nhật.

2. **Vậy $HF = O$**:
- $OH$ bằng với tổng của chiều cao xuống $D$ và điểm xác định giữa $DF$.

Vì vậy, $H$, $O$, và $F$ thẳng hàng.

### Kết luận

- **(a)** Tứ giác $DNMK$ là hình chữ nhật.
- **(b)** Điểm $K$ là trung điểm của $DF$.
- **(c)** Ba điểm $H$, $O$, và $F$ thẳng hàng.

Nếu bạn cần bất kỳ thông tin nào khác, hãy cho tôi biết!