Cho hàm số \( y = 1 - \frac{x^2}{x} \) với đồ thị là \( C \). Bài toán yêu cầu tìm tất cả các điểm \( M \) thuộc đồ thị \( C \) sao cho khoảng cách từ \( M \) đến trục tung (TCĐ) bằng \( \sqrt{2} \) lần khoảng cách từ \( M \) đến trục hoành (TCX).

### Bước 1: Xác định công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến trục hoành và trục tung
- Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến trục tung (TCĐ) là \( |x_0| \).
- Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến trục hoành (TCX) là \( |y_0| \).

Theo đề bài, khoảng cách từ \( M \) đến TCĐ là \( \sqrt{2} \) lần khoảng cách từ \( M \) đến TCX, tức là:

\[
|x_0| = \sqrt{2} \cdot |y_0|
\]

### Bước 2: Tìm hàm số của đồ thị \( C \)
Hàm số đã cho là:

\[
y = 1 - \frac{x^2}{x} = 1 - x
\]

Vậy \( y_0 = 1 - x_0 \). Thay vào phương trình khoảng cách:

\[
|x_0| = \sqrt{2} \cdot |1 - x_0|
\]

### Bước 3: Giải phương trình

Xét hai trường hợp do dấu giá trị tuyệt đối:

#### Trường hợp 1: \( x_0 \geq 0 \)
Phương trình trở thành:

\[
x_0 = \sqrt{2} \cdot (1 - x_0)
\]

Giải phương trình này:

\[
x_0 = \sqrt{2} - \sqrt{2}x_0
\]

\[
x_0(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}
\]

\[
x_0 = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{-1} = \sqrt{2} - 2
\]

Vậy \( x_0 = 2 - \sqrt{2} \).

#### Trường hợp 2: \( x_0 < 0 \)
Phương trình trở thành:

\[
-x_0 = \sqrt{2}(1 - x_0)
\]

Giải phương trình này:

\[
-x_0 = \sqrt{2} - \sqrt{2}x_0
\]

\[
x_0(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}
\]

\[
x_0 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{1} = \sqrt{2} + 2
\]

Vậy \( x_0 = -2 - \sqrt{2} \).

### Kết luận:
Hai điểm \( M \) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \( M(2 - \sqrt{2}, 1 - (2 - \sqrt{2})) \) và \( M(-2 - \sqrt{2}, 1 - (-2 - \sqrt{2})) \).