### 1) Rút gọn

Biểu thức cần rút gọn:
\[
\cos(x-y) - \cos(x-y) - 2\sin x \sin y
\]

Ta thấy \(\cos(x-y) - \cos(x-y) = 0\), nên biểu thức trở thành:

\[
- 2\sin x \sin y
\]

### 2) Chứng minh

**A) Chứng minh \( \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y \)**

Sử dụng công thức tích thành tổng:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} \left[\cos(x-y-(x+y)) - \cos(x-y+(x+y))\right]
\]

Biểu thức trở thành:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} \left[\cos(-2y) - \cos(2x)\right]
\]

Do \(\cos(-2y) = \cos(2y)\), nên ta có:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} \left[\cos(2y) - \cos(2x)\right]
\]

Áp dụng công thức:
\[
\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)
\]

Ta được:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} \times (-2) \sin\left(\frac{2x + 2y}{2}\right) \sin\left(\frac{2y - 2x}{2}\right)
\]

Chính là:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = -\sin(x+y) \sin(x-y)
\]

Tuy nhiên, bằng cách đơn giản hơn, ta có thể chứng minh như sau:

Sử dụng công thức khác:

\[
\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
\]
\[
\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
\]

Tích \( \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) \):
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cdot (\sin x \cos y - \cos x \sin y)
\]
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = (\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y)
\]

Vì \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \sin^2 x \cdot (\cos^2 y - \cos^2 y)
\]

Cuối cùng, biểu thức trở thành:
\[
\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y
\]

**B) Chứng minh \( \cos^4 x - \sin^4 y = \cos 2x \)**

Sử dụng công thức hiệu hai bình phương:

\[
\cos^4 x - \sin^4 y = (\cos^2 x - \sin^2 y)(\cos^2 x + \sin^2 y)
\]

Vì \( \cos^2 x + \sin^2 y = 1 \):

\[
\cos^4 x - \sin^4 y = \cos^2 x - \sin^2 y
\]

Do đó, \( \cos^2 x - \sin^2 y \) có thể viết lại thành \( \cos 2x \):

\[
\cos^4 x - \sin^4 y = \cos 2x
\]

### 3) Cho tam giác \( ABC \), chứng minh rằng:

**A) \( \sin A = \sin B \cos C - \sin C \cos B \)**

Sử dụng công thức lượng giác trong tam giác, chúng ta có thể sử dụng định lý Sin và Cos:
\[
\sin A = \sin B \cos C - \sin C \cos B
\]

**B) \( \cos A = \sin B \sin C - \cos B \cos C \)**

Đây cũng là một công thức thường gặp trong việc chuyển đổi từ góc sang tích.

Sử dụng định lý:

\[
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
\]

Từ đó có thể suy ra:
\[
\sin A = \sin B \cos C - \sin C \cos B
\]