Để tính độ dài cạnh (BC), các góc còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC), ta có thể sử dụng định lý cosin và định lý sin.

Tính độ dài cạnh (BC):

Sử dụng định lý cosin: [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A) ] [ BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) ] [ BC^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-0.5) ] [ BC^2 = 34 + 15 = 49 ] [ BC = \sqrt{49} = 7 ]
Tính các góc còn lại:

Sử dụng định lý sin: [ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} ] [ \frac{7}{\sin(120^\circ)} = \frac{3}{\sin(\angle C)} = \frac{5}{\sin(\angle B)} ]
Tính (\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}): [ \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sin(\angle C)} ] [ \sin(\angle C) = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14} ] [ \angle C \approx 35.26^\circ ]
Tính (\sin(\angle B)): [ \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\sin(\angle B)} ] [ \sin(\angle B) = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14} ] [ \angle B \approx 24.74^\circ ]
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC):

Sử dụng công thức: [ R = \frac{BC}{2 \sin(\angle A)} ] [ R = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.04 ]
Vậy, độ dài cạnh (BC) là 7, các góc còn lại là (\angle B \approx 24.74^\circ) và (\angle C \approx 35.26^\circ), và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) là khoảng 4.04.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bccosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = √129≈11,4129≈11,4

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = a2+c2−b22ac=11,42+52−822.11,4.5≈0,798a2+c2−b22ac=11,42+52−822.11,4.5≈0,798

⇒ ˆB≈37o4'B^≈37o4'

Tam giác ABC có:

ˆA+ˆB+ˆC=180o⇒ˆC=180o−(ˆA+ˆB)=180o−(120o+37o4')=22o56'A^+B^+C^=180o⇒C^=180o−(A^+B^)=180o−(120o+37o4')=22o56'

Vậy a ≈ 11,4; ˆB≈37o4'B^≈37o4' ; ˆB=22o56'B^=22o56' .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 p=a+b+c2=11,4+8+52=12,2p=a+b+c2=11,4+8+52=12,2

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

S=√12,2.(12,2−11,4).(12,2−8).(12,2−5)=√295,1≈17,2S=12,2.(12,2−11,4).(12,2−8).(12,2−5)=295,1≈17,2

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

S=abc4R⇒R=abc4S=11,4.8.54.17,2≈6,6S=abc4R⇒R=abc4S=11,4.8.54.17,2≈6,6

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi ha là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là ha = AH.

Khi đó S=12aha⇒ha=2Sa=2.17,211,4≈3S=12aha⇒ha=2Sa=2.17,211,4≈3

⇒ AH = ha ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.