Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán với hình thang cân \( ABCD \) có các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( P \) và các cạnh bên \( AD \) và \( BC \) cắt nhau tại điểm \( Q \), ta sẽ tiếp cận từng phần.

### a. Chứng minh tam giác \( PCD \) cân

1. **Các tính chất hình thang cân**:
- Hình thang \( ABCD \) cân có nghĩa là \( AB \parallel CD \) và \( AD = BC \).

2. **Góc ở các đỉnh**:
- Do \( AB \parallel CD \) nên góc \( APD = BPC \) (góc so le trong).
- Mặt khác, góc \( ADP = BCP \) (góc so le trong).

3. **Hai tam giác \( APD \) và \( BPC \)**:
- Hai góc \( APD \) và \( BPC \) đều bằng nhau.
- Hai góc \( ADP \) và \( BCP \) đều bằng nhau.
- Do đó, \( \triangle APD \sim \triangle BPC \).

4. **Kết luận**:
- Từ định nghĩa của tam giác cân, ta suy ra rằng \( CP = DP \) (cạnh chân) và \( PCD \) là tam giác cân.

### b. Chứng minh \( PQ \) là đường trung trực của hai đáy \( AB \) và \( CD \)

1. **Tính chất của điểm cắt**:
- Điểm \( P \) là nơi cắt của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Đường chéo trong hình thang cân có tính chất rằng chúng chia hình thang thành các phần bằng nhau.

2. **Cách xác định đường trung trực**:
- Từ điểm \( P \), ta rút ra hai khoảng cách \( PA \) và \( PB \) đến hai đáy \( AB \) (tức là: Đường thẳng \( PQ \) sẽ nối điểm \( P \) với hạ từ \( Q \) xuống đáy).

3. **Khoảng cách**:
- Với \( P \) nằm giữa đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) và đấy là hình thang cân \( AD = BC \), ta có thể thấy:
\[
PA = PB
\]
Tương tự,
\[
PC = PD
\]

4. **Kết luận**:
- Nếu \( PQ \) là đường trung trực của \( AB \) và \( CD \), thì khoảng cách từ \( P \) đến hai đáy là bằng nhau, chứng minh \( PQ \) là đường trung trực của hai đáy.

### Tóm tắt

- Ta đã chứng minh rằng tam giác \( PCD \) là tam giác cân và \( PQ \) là đường trung trực của hai đáy \( AB \) và \( CD \).