### 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Hàm số đã cho là \( y = -x^2 + 4x + 5 \). Đây là một hàm bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \).

**Tìm tọa độ đỉnh và các giá trị cực đại, cực tiểu:**
- Trục đối xứng: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \).
- Giá trị tại đỉnh \( y \) khi \( x = 2 \):
\[
y(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.
\]
- Tọa độ đỉnh là \( (2, 9) \).

**Tìm các giá trị tại các điểm đặc biệt:**
- Khi \( x = 0 \): \( y = -(0)^2 + 4(0) + 5 = 5 \).
- Khi \( x = 4 \):
\[
y(4) = -(4)^2 + 4(4) + 5 = -16 + 16 + 5 = 5.
\]
- Khi \( x = 1 \):
\[
y(1) = -(1)^2 + 4(1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8.
\]

**Bảng biến thiên:**

| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) |
|------|------------|--------|-------|-------|-------|-------------|
| \(y\) | \(\downarrow\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(\downarrow\) |

**Đồ thị:**
Đồ thị là một parabol hướng xuống với đỉnh là \( (2, 9) \).

### 2. Tìm các giá trị của \( x \) để \( y > 0 \)

Giải phương trình \( y = 0 \):
\[
-x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0
\]
Nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}
\]
Vậy \( x = 5 \) và \( x = -1 \).

Do đó, \( y > 0 \) khi \( x \in (-1, 5) \).

### 3. Tìm giá trị lớn nhất (GTNN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn \([-2; 1]\)

- Tính \( y \) tại các điểm \( x = -2 \), \( x = 1 \), và điểm cực trị nếu thuộc đoạn này.
\[
y(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) + 5 = -4 - 8 + 5 = -7.
\]
\[
y(1) = -(1)^2 + 4(1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8.
\]

Vậy trên đoạn \([-2; 1]\), \( y \) đạt giá trị lớn nhất là \( 8 \) tại \( x = 1 \), và giá trị nhỏ nhất là \( -7 \) tại \( x = -2 \).

### 4. Suy ra các đồ thị của (P1) và (P2)

- Đồ thị (P1): \( y = | -x^2 + 4x + 5 | \) là đồ thị của \( P \) với phần bên dưới trục \( y = 0 \) được phản chiếu lên trên.
- Đồ thị (P2): \( y = -x^2 + 4|x| + 5 \) là đồ thị \( P \) với trục đối xứng chuyển từ \( x = 2 \) thành \( x = 0 \) do hiệu ứng của \( |x| \).

### 5. Tìm các giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 4|x| + 6m = 0 \) có 4 nghiệm

Xét phương trình theo biến \( |x| \):
\[
|x|^2 - 4|x| + 6m = 0.
\]
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi delta \( \Delta \geq 0 \):
\[
\Delta = 16 - 24m \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{2}{3}.
\]
Khi đó, phương trình có nghiệm \( |x| = 2 \pm \sqrt{4 - 6m} \). Để có 4 nghiệm thực, phương trình phải có \( 2 \) nghiệm phân biệt với \( |x| > 0 \). Điều kiện cần là \( 6m < 4 \Rightarrow m < \frac{2}{3} \).

Vậy, \( m \in (0, \frac{2}{3}] \) thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.