Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tập hợp tất cả các giá trị của \( x \) sao cho bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) với \( f(x) = x^2 (2x - 1)(x - 1) \) được thỏa mãn.

### Bước 1: Xác định các điểm tới hạn

Đầu tiên, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) tại đó \( f(x) \) bằng 0. Để làm điều này, giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[ f(x) = x^2 (2x - 1)(x - 1) = 0 \]

Phương trình này bằng 0 khi ít nhất một trong các yếu tố trong biểu thức này bằng 0:

1. \( x^2 = 0 \) dẫn đến \( x = 0 \)
2. \( 2x - 1 = 0 \) dẫn đến \( x = \frac{1}{2} \)
3. \( x - 1 = 0 \) dẫn đến \( x = 1 \)

Vậy các điểm tới hạn là \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \), và \( x = 1 \).

### Bước 2: Phân tích dấu của \( f(x) \)

Chúng ta sẽ phân tích dấu của \( f(x) \) trên các khoảng phân chia bởi các điểm tới hạn \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \), và \( x = 1 \).

Xét các khoảng:

1. **Khoảng \( (-\infty, 0) \)**

- Chọn một điểm thử nghiệm như \( x = -1 \):
\[ f(-1) = (-1)^2 (2(-1) - 1)(-1 - 1) = 1 \cdot (-3) \cdot (-2) = 6 \]
Vì \( f(-1) > 0 \), trên khoảng này, \( f(x) > 0 \).

2. **Khoảng \( (0, \frac{1}{2}) \)**

- Chọn một điểm thử nghiệm như \( x = \frac{1}{4} \):
\[ f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(2\left(\frac{1}{4}\right) - 1\right)\left(\frac{1}{4} - 1\right) = \frac{1}{16} \left(\frac{1}{2} - 1\right) \left(\frac{-3}{4}\right) = \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{128} \]
Vì \( f\left(\frac{1}{4}\right) > 0 \), trên khoảng này, \( f(x) > 0 \).

3. **Khoảng \( (\frac{1}{2}, 1) \)**

- Chọn một điểm thử nghiệm như \( x = \frac{3}{4} \):
\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(2\left(\frac{3}{4}\right) - 1\right)\left(\frac{3}{4} - 1\right) = \frac{9}{16} \left(\frac{3}{2} - 1\right) \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{128} \]
Vì \( f\left(\frac{3}{4}\right) < 0 \), trên khoảng này, \( f(x) < 0 \).

4. **Khoảng \( (1, +\infty) \)**

- Chọn một điểm thử nghiệm như \( x = 2 \):
\[ f(2) = 2^2 (2 \cdot 2 - 1)(2 - 1) = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 \]
Vì \( f(2) > 0 \), trên khoảng này, \( f(x) > 0 \).

### Bước 3: Xác định các giá trị tại các điểm tới hạn

- Tại \( x = 0 \):
\[ f(0) = 0 \]
\( f(x) = 0 \) tại \( x = 0 \).

- Tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(2 \cdot \frac{1}{2} - 1\right)\left(\frac{1}{2} - 1\right) = 0 \]
\( f(x) = 0 \) tại \( x = \frac{1}{2} \).

- Tại \( x = 1 \):
\[ f(1) = 1^2 (2 \cdot 1 - 1)(1 - 1) = 0 \]
\( f(x) = 0 \) tại \( x = 1 \).

### Bước 4: Tập hợp giá trị của \( x \) thỏa mãn \( f(x) \geq 0 \)

Kết hợp các khoảng và điểm tới hạn nơi \( f(x) \geq 0 \):
- \( f(x) \geq 0 \) trên các khoảng \( (-\infty, 0] \), \( [\frac{1}{2}, 1] \), và \( [1, +\infty) \).

Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của \( x \) thỏa mãn bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) là:

\[ (-\infty, 0] \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) \]