### a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \)

1. **Tìm điểm cực trị của hàm số:**

Hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \) là một hàm bậc hai có dạng chuẩn là \( y = ax^2 + bx + c \), với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -3 \). Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm và giải phương trình \( y' = 0 \).

\[
y' = 2x - 2
\]

Đặt \( y' = 0 \):

\[
2x - 2 = 0 \implies x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào hàm số để tìm \( y \):

\[
y = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
\]

Vậy điểm cực trị là \( (1, -4) \).

2. **Xét sự biến thiên của hàm số:**

- Hàm số có dạng \( y = x^2 - 2x - 3 \) là một parabol mở lên vì \( a > 0 \).
- Điểm cực trị (1, -4) là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Hàm số tăng trên khoảng \( (1, +\infty) \) và giảm trên khoảng \( (-\infty, 1) \).

3. **Vẽ đồ thị hàm số:**

Đồ thị của hàm số là một parabol mở lên với đỉnh tại \( (1, -4) \). Các điểm cắt trục tung và trục hoành có thể được tìm bằng cách giải phương trình \( y = 0 \) và \( x = 0 \).

- **Tìm các điểm cắt trục hoành:**

\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]

Phương trình này có thể được giải bằng cách phân tích:

\[
(x - 3)(x + 1) = 0
\]

Vậy, \( x = 3 \) và \( x = -1 \). Các điểm cắt trục hoành là \( (3, 0) \) và \( (-1, 0) \).

- **Tìm điểm cắt trục tung:**

Khi \( x = 0 \):

\[
y = (0)^2 - 2(0) - 3 = -3
\]

Điểm cắt trục tung là \( (0, -3) \).

### b) Tìm giá trị của tham số \( m \) để đường thẳng \( y = x + m \) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Để đường thẳng \( y = x + m \) cắt đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình:

\[
x^2 - 2x - 3 = x + m
\]

\[
x^2 - 3x - 3 - m = 0
\]

Phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân biệt khi delta của nó dương:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = -3 \), và \( c = -3 - m \).

Tính delta:

\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - m)
\]

\[
\Delta = 9 + 12 + 4m
\]

\[
\Delta = 21 + 4m
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, \( \Delta > 0 \):

\[
21 + 4m > 0
\]

\[
4m > -21
\]

\[
m > -\frac{21}{4}
\]

Để đường thẳng cắt tại hai điểm có hoành độ dương, ta cần đảm bảo rằng các nghiệm của phương trình bậc hai là dương. Tính các nghiệm của phương trình:

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{21 + 4m}}{2}
\]

Yêu cầu hoành độ dương tức là cả hai nghiệm đều phải dương. Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi:

- Tính giá trị lớn nhất của nghiệm nhỏ hơn:

\[
\frac{3 - \sqrt{21 + 4m}}{2} > 0
\]

\[
3 - \sqrt{21 + 4m} > 0
\]

\[
\sqrt{21 + 4m} < 3
\]

\[
21 + 4m < 9
\]

\[
4m < -12
\]

\[
m < -3
\]

Kết hợp các điều kiện:

\[
-3 < m < -\frac{21}{4}
\]

### c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = |x^2 - 2x - 3| \) với \( x \in [-2, 2] \)

1. **Tìm các giá trị của hàm số trong khoảng \( x \in [-2, 2] \):**

Hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \) là parabol với đỉnh tại \( (1, -4) \). Trong khoảng \( [-2, 2] \), ta cần tính giá trị của \( |x^2 - 2x - 3| \) tại các điểm quan trọng:

- Tại \( x = -2 \):

\[
y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
\]

- Tại \( x = 2 \):

\[
y = (2)^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
\]

Vậy:

\[
|y| = | -3 | = 3
\]

- Tại \( x = 1 \) (đỉnh của parabol):

\[
y = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
\]

Vậy:

\[
|y| = | -4 | = 4
\]

2. **Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:**

- Giá trị nhỏ nhất: \( 3 \) (tại \( x = 2 \)).
- Giá trị lớn nhất: \( 4 \) (tại \( x = 1 \)).

Kết luận:

- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = |x^2 - 2x - 3| \) trong khoảng \( x \in [-2, 2] \) là 3.
- Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |x^2 - 2x - 3| \) trong khoảng \( x \in [-2, 2] \) là 4.