Để tính giá trị của \(\tan x\) với \(\sin x = \frac{1}{3}\) trong khoảng \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), và viết \(\tan x\) dưới dạng \(\frac{a \sqrt{2}}{b}\) với \(a\) và \(b\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Tìm \(\cos x\) từ \(\sin x\)**:

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:

\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]

Với \(\sin x = \frac{1}{3}\):

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1
\]

\[
\frac{1}{9} + \cos^2 x = 1
\]

\[
\cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

\[
\cos x = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}
\]

2. **Tính \(\tan x\)**:

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Thay giá trị \(\sin x\) và \(\cos x\):

\[
\tan x = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}
\]

Để đưa về dạng \(\frac{a \sqrt{2}}{b}\), nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2}\):

\[
\tan x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

Trong dạng \(\frac{a \sqrt{2}}{b}\), ta có \(a = 1\) và \(b = 4\).

3. **Tính tổng \(a + b\)**:

\[
a + b = 1 + 4 = 5
\]

Vậy, giá trị của \(a + b\) là \(5\).