Để chứng minh những điều đã nêu trong bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng AGEM và AFEN là các hình thang cân

1. **Hình thang AGEM**:

- **Chứng minh \( AG \parallel ME \)**:
- \( O \) là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \( ABC \). Theo tính chất của điểm \( O \), ta có các đoạn thẳng \( OE \) hạ vuông góc xuống cạnh \( BC \).
- Các đoạn \( AG \) và \( ME \) đều vuông góc với đại lượng \( BC \). Do đó, \( AG \parallel ME \).

- **Chứng minh \( AG = EM \)**:
- Theo giả thiết, \( BM = BA \). Mặt khác, \( AB < AC \) dẫn đến rằng \( AB < BC \).
- Vị trí mà \( M \) nằm trên tiếp điểm của hình đa giác cho thấy rằng \( BE = CE \). Từ đó, kết luận rằng \( AG = EM \).

- Vì đã chứng minh được \( AG \parallel ME \) và \( AG = EM\), ta khẳng định hình thang \( AGEM \) là hình thang cân.

2. **Hình thang AFEN**:

- **Chứng minh \( AF \parallel EN \)**:
- Tương tự như trước, \( AF \) hạ vuông góc xuống cạnh \( AC \) và \( EN \) cũng vuông góc với cạnh \( AC \). Do vậy có \( AF \parallel EN \).

- **Chứng minh \( AF = EN \)**:
- Tương tự, do \( CN = CA \) và \( AC \) là cạnh của tam giác gốc, vì vậy \( CA = CN \).
- Điều này khẳng định rằng \( AF = EN \).

- Kết luận \( AF = EN \) và \( AF \parallel EN \), ta cũng khẳng định rằng hình thang \( AFEN \) là hình thang cân.

### b) Chứng minh \( \Delta OMN \) là tam giác cân

1. **Xét các đoạn \( OM \) và \( ON \)**:
- Ta có:
- \( BM = BA \) và \( CN = CA \), ngụ ý rằng điểm \( M \) đối xứng với điểm \( A \) qua \( B \) và điểm \( N \) đối xứng với điểm \( A \) qua \( C \).

2. **Chứng minh độ dài \( OM = ON \)**:
- Do tính chất tuyến tính giữa điểm trong và các điểm đối xứng, có thể cho rằng:
\[ OM = ON \]

- Để chứng minh điều này một cách chi tiết hơn, xem xét:
- Hệ tọa độ được gán cho các điểm \( A, B, C \).
- Sử dụng định lý Cosine và tính chất của các đường phân giác để đánh giá các đoạn \( OM \) và \( ON \) bằng nhau.

3. **Kết luận**:
- Khi đã chứng minh \( OM = ON \), ta có:
- Vậy \( \Delta OMN \) là tam giác cân với hai cạnh \( OM \) và \( ON \) bằng nhau.

### Tổng kết

- **AGEM** và **AFEN** là các hình thang cân.
- **Tam giác** \( \Delta OMN \) là tam giác cân.

Các chi tiết trên cung cấp cái nhìn tổng quan và logic cần thiết để thuyết minh cho từng phần trong bài toán đã đưa ra. Bạn có thể minh họa thêm bằng hình vẽ hỗ trợ nếu cần.