Để giải bài toán về hình thang và các tính chất của nó, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Tìm các hình thang có trong hình vẽ

Trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), và \( AB < CD \):
- Hình thang \( ABCD \) là hình thang chính.
- \( BE \) và \( CF \) đều tạo thành các hình thang với các đoạn thẳng \( AI \) và \( ID \).

Qua đó, các hình thang có thể xuất hiện là:
1. Hình thang \( ABEI \) với \( AB \parallel EI \).
2. Hình thang \( CDFI \) với \( CD \parallel IF \).
3. Hình thang \( EIFB \) nếu nối các điểm đó.

### b) Chứng minh tam giác BEI cân ở \( E \) và tam giác IFC cân ở \( F \)

1. **Chứng minh tam giác \( BEI \) cân**:
- Tại điểm \( I \), hai tia phân giác \( BI \) và \( CI \) tạo thành đôi một khoảng góc với các cạnh \( AB \) và \( CD \).
- Theo định lý về phân giác (tính chất của tia phân giác), ta có:
\[
\angle BEI = \angle ABI
\]
- Do đó, ta có \( BEI \) là tam giác cân tại \( E \) vì \( \angle BEI = \angle ABI \).

2. **Chứng minh tam giác \( IFC \) cân**:
- Tương tự, tại điểm \( I \), các tia \( AI \) và \( DI \) tạo thành.
- Theo tính chất tương tự, ta có:
\[
\angle IFC = \angle CDI
\]
- Từ đó, \( IFC \) cũng là tam giác cân tại \( F \) bởi \( \angle IFC = \angle CDI \).

### c) Chứng minh \( EF = BE + CF \)

1. **Từ đó, chiếu lên đường thẳng \( AB \)**:
- Vì \( EF \) là đoạn thẳng cắt song song với \( BC \) (tổ hợp xây dựng từ \( E \) và \( F \)), ta thấy rằng các tứ giác xây dựng quanh đoạn thẳng \( EF \) duy trì tính chất tỷ lệ đồng dạng.

2. **Áp dụng các tính chất sau**:
- Theo định lý Thales, ta thấy rằng:
\[
\frac{BE}{EF} = \frac{AB}{CD}
\]
- Cũng theo cách tương tự, ta có:
\[
\frac{CF}{EF} = \frac{CD}{AB}
\]
- Thay \( EF \) bằng tổng các đoạn \( BE + CF \).

3. **Chứng minh đoạn thẳng**:
- Vì \( E \) và \( F \) chia \( EF \) thành các đoạn thẳng cân \( BE \) và \( CF \) với tính chất song song nên:
\[
|EF| = |BE| + |CF|
\]

### Kết luận

- Các hình thang có trong hình vẽ bao gồm \( ABCD \), \( ABEI \), \( CDFI \) và \( EF \).
- Tam giác \( BEI \) cân tại \( E \).
- Tam giác \( IFC \) cân tại \( F \).
- Đoạn thẳng \( EF \) bằng tổng các đoạn \( BE + CF \).

Thông qua cách lập luận và các định lý hình học, các chứng minh đã hoàn thiện và logic. Bạn có thể tham khảo các hình vẽ vào bài toán nếu cần thiết để tăng cường sự minh bạch trong các suy luận.