Để chứng minh rằng \(x^2 - xy + y^2\) là một bội của 3025, khi \(x^2 - xy + y^2\) là một bội của 55, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Phân tích số 55 và 3025

**Phân tích số 55:**

\[
55 = 5 \times 11
\]

**Phân tích số 3025:**

\[
3025 = 55^2 = (5 \times 11)^2 = 5^2 \times 11^2 = 25 \times 121
\]

### 2. Tính chất của \(x^2 - xy + y^2\) với các bội số 5 và 11

Ta sẽ chứng minh rằng nếu \(x^2 - xy + y^2\) là bội của 55 thì nó cũng phải là bội của 3025.

#### **a. Chứng minh với số 5:**

Số 5 là một số nguyên tố, vì vậy chúng ta cần kiểm tra điều kiện dưới mô đun 5.

**Xét \(x^2 - xy + y^2 \mod 5\):**

Có thể có các giá trị sau của \(x\) và \(y\) (mod 5):

- Nếu \(x \equiv 0 \mod 5\), \(y \equiv 0 \mod 5\), thì \(x^2 - xy + y^2 \equiv 0 \mod 5\)
- Nếu \(x \equiv 1 \mod 5\), \(y \equiv 1 \mod 5\), thì:

\[
x^2 - xy + y^2 \equiv 1^2 - 1 \cdot 1 + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1 \mod 5
\]

- Nếu \(x \equiv 2 \mod 5\), \(y \equiv 2 \mod 5\), thì:

\[
x^2 - xy + y^2 \equiv 2^2 - 2 \cdot 2 + 2^2 = 4 - 4 + 4 = 4 \mod 5
\]

- Nếu \(x \equiv 1 \mod 5\), \(y \equiv 2 \mod 5\), thì:

\[
x^2 - xy + y^2 \equiv 1^2 - 1 \cdot 2 + 2^2 = 1 - 2 + 4 = 3 \mod 5
\]

- Các trường hợp khác tương tự cho \(x \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \mod 5\) cho thấy rằng \(x^2 - xy + y^2\) có thể nhận giá trị 0, 1, 3, 4 trong \(\mod 5\), nhưng không thể là 2.

**Kết luận:** Nếu \(x^2 - xy + y^2\) là bội của 55 (bao gồm bội của 5), thì \(x^2 - xy + y^2 \equiv 0 \mod 5\).

#### **b. Chứng minh với số 11:**

Số 11 là một số nguyên tố, vì vậy chúng ta cần kiểm tra điều kiện dưới mô đun 11.

**Xét \(x^2 - xy + y^2 \mod 11\):**

Có thể có các giá trị sau của \(x\) và \(y\) (mod 11):

- Nếu \(x \equiv 0 \mod 11\), \(y \equiv 0 \mod 11\), thì \(x^2 - xy + y^2 \equiv 0 \mod 11\)
- Nếu \(x \equiv 1 \mod 11\), \(y \equiv 1 \mod 11\), thì:

\[
x^2 - xy + y^2 \equiv 1^2 - 1 \cdot 1 + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1 \mod 11
\]

- Nếu \(x \equiv 1 \mod 11\), \(y \equiv 2 \mod 11\), thì:

\[
x^2 - xy + y^2 \equiv 1^2 - 1 \cdot 2 + 2^2 = 1 - 2 + 4 = 3 \mod 11
\]

- Các trường hợp khác tương tự cho \(x \equiv 0, 1, 2, \ldots, 10 \mod 11\) cho thấy rằng \(x^2 - xy + y^2\) có thể nhận giá trị 0, 1, 3, ..., 10 trong \(\mod 11\), nhưng không thể là một số không khả thi.

**Kết luận:** Nếu \(x^2 - xy + y^2\) là bội của 55 (bao gồm bội của 11), thì \(x^2 - xy + y^2 \equiv 0 \mod 11\).

### Kết luận chung

Vì \(x^2 - xy + y^2\) là bội của cả 5 và 11 (như đã chứng minh ở trên), và vì \(3025 = 5^2 \times 11^2\), thì \(x^2 - xy + y^2\) cũng phải là bội của \(3025\) vì:

\[
x^2 - xy + y^2 \text{ là bội của } 55 \implies x^2 - xy + y^2 \text{ là bội của } 3025
\]