Chúng ta sẽ tính từng bài toán một.

### Bài toán 1: Tính tổng của các phân số

Tính:
\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} + \frac{1}{143} + \frac{1}{195}
\]

Để làm việc này, chúng ta cần tìm mẫu số chung của các phân số và cộng chúng lại.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, dễ dàng hơn nếu chúng ta nhận thấy rằng các mẫu số là tích của các số liên tiếp. Đặc biệt, các phân số này có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số là tích của các số nguyên liên tiếp.

Thực tế, các mẫu số trong bài toán này là tích của các số liên tiếp, cụ thể là:

\[
3 = 1 \cdot 3
\]
\[
15 = 3 \cdot 5
\]
\[
35 = 5 \cdot 7
\]
\[
63 = 7 \cdot 9
\]
\[
99 = 9 \cdot 11
\]
\[
143 = 11 \cdot 13
\]
\[
195 = 13 \cdot 15
\]

Chúng ta có thể viết tổng các phân số dưới dạng sau:
\[
\frac{1}{n(n+2)}
\]

Với \( n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 \).

Sử dụng công thức phân số, mỗi phân số có thể viết lại như sau:
\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)
\]

Áp dụng công thức này cho từng phân số:
\[
\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)
\]
\[
\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right)
\]
\[
\frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right)
\]
\[
\frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)
\]
\[
\frac{1}{11 \cdot 13} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)
\]
\[
\frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right)
\]

Tổng tất cả các phân số:
\[
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right)
\]

Các phân số sẽ cộng lại với nhau, và ta có:
\[
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right)
\]

Tính tổng này:
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 1}{15} = \frac{4}{15}
\]
\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}
\]

**Kết quả:**
\[
\frac{2}{15}
\]

### Bài toán 2: Tính tổng chuỗi

Tính:
\[
\frac{2000}{1 \cdot 2} + \frac{2000}{2 \cdot 3} + \frac{2000}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{2000}{1999 \cdot 2000}
\]

Ta có tổng các phân số dạng:
\[
\sum_{n=1}^{1999} \frac{2000}{n(n+1)}
\]

Áp dụng phân số:
\[
\frac{2000}{n(n+1)} = 2000 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\]

Tổng:
\[
2000 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{1999} - \frac{1}{2000} \right)
\]

Rút gọn:
\[
2000 \left( 1 - \frac{1}{2000} \right) = 2000 - 1 = 1999
\]

**Kết quả:**
\[
1999
\]