Để giải bài toán này về hàm số \(y = f(x) = -2x^2 - 6x\), ta thực hiện các bước như sau:

### 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = -2x^2 - 6x\)

- **Dạng chuẩn:** Hàm số có dạng \(y = ax^2 + bx + c\) với \(a = -2\), \(b = -6\), và \(c = 0\).

- **Hàm bậc 2:** Hàm số \(y = -2x^2 - 6x\) là một hàm bậc 2, có đồ thị là một parabola mở xuống vì hệ số \(a\) âm.

- **Đỉnh của parabola:**

Công thức tọa độ đỉnh của parabola \(y = ax^2 + bx + c\) là:
\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}
\]
Thay vào \(a = -2\) và \(b = -6\):
\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}
\]
Tọa độ của đỉnh là:
\[
y_{\text{đỉnh}} = -2 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 6 \left(-\frac{3}{2}\right) = -2 \cdot \frac{9}{4} + 9 = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}
\]
Vậy đỉnh của parabola là \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

- **Nghiệm của phương trình \(y = 0\):**

Giải phương trình:
\[
-2x^2 - 6x = 0
\]
\[
-2x(x + 3) = 0
\]
Nghiệm là:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]

### 2. Tìm \(x\) để \(y > 0\)

Hàm số \(y = -2x^2 - 6x\) là dương khi:
\[
-2x^2 - 6x > 0
\]
\[
2x^2 + 6x < 0
\]
\[
x^2 + 3x < 0
\]

Giải bất phương trình:
\[
x(x + 3) < 0
\]

- **Nghiệm của bất phương trình:**

Phương trình \(x(x + 3) = 0\) có nghiệm là \(x = 0\) và \(x = -3\).

Phân tích dấu của \(x(x + 3)\) cho ta khoảng:
\[
-3 < x < 0
\]

### 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-3;1]\)

- **Tính giá trị hàm số tại các đầu mút và đỉnh trong đoạn:**

\[
f(-3) = -2(-3)^2 - 6(-3) = -2 \cdot 9 + 18 = -18 + 18 = 0
\]
\[
f(1) = -2(1)^2 - 6(1) = -2 - 6 = -8
\]

- Đỉnh \(-\frac{3}{2}\) nằm trong đoạn \([-3;1]\):
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = -2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}
\]

- **Giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn \([-3;1]\)**: \(f(1) = -8\)
- **Giá trị lớn nhất (GTLN) trên đoạn \([-3;1]\)**: \(f\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2}\)

### 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0;2]\)

- **Tính giá trị hàm số tại các đầu mút:**

\[
f(0) = -2(0)^2 - 6(0) = 0
\]
\[
f(2) = -2(2)^2 - 6(2) = -8 - 12 = -20
\]

- **Giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn \([0;2]\)**: \(f(2) = -20\)
- **Giá trị lớn nhất (GTLN) trên đoạn \([0;2]\)**: \(f(0) = 0\)

### 5. Tìm \(m\) để phương trình \(|-2x^2 - 6|x| = 3 - 2m\) có 8 nghiệm

- **Phương trình cần tìm:**

\[
|-2x^2 - 6|x| = 3 - 2m
\]

Ta có hai trường hợp do giá trị tuyệt đối:

1. \(-2x^2 - 6x = 3 - 2m\)
2. \(-2x^2 - 6x = -(3 - 2m) = 2m - 3\)

- **Giải hai phương trình trên:**

Phương trình đầu tiên:
\[
-2x^2 - 6x = 3 - 2m
\]
\[
2x^2 + 6x + (3 - 2m) = 0
\]
Phương trình bậc 2 có 4 nghiệm khi:
\[
\Delta = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - 2m) = 36 - 8(3 - 2m) = 36 - 24 + 16m = 12 + 16m
\]
Để có 4 nghiệm cho phương trình bậc 2, \(\Delta\) phải dương.

Phương trình thứ hai:
\[
-2x^2 - 6x = 2m - 3
\]
\[
2x^2 + 6x + (2m - 3) = 0
\]
Phương trình bậc 2 có 4 nghiệm khi:
\[
\Delta = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2m - 3) = 36 - 8(2m - 3) = 36 - 16m + 24 = 60 - 16m
\]
Để có 4 nghiệm cho phương trình bậc 2, \(\Delta\) phải dương.

Để tổng số nghiệm là 8, \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) đều phải dương, tức là:

\[
12 + 16m > 0
\]
\[
60 - 16m > 0
\]

Giải hai bất phương trình:
\[
16m > -12 \quad \text{hoặc} \quad m > -\frac{3}{4}
\]
\[
16m < 60 \quad \text{hoặc} \quad m < \frac{15}{4}
\]

Vậy \(m\) phải nằm trong khoảng:
\[
-\frac{3}{4} < m < \frac{15}{4}
\]

### Tổng kết

1. Đồ thị là parabola mở xuống với đỉnh \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\).
2. \(y > 0\) khi \(-3 < x < 0\).
3. Trên đoạn \([-3;1]\): \( \text{GTNN} = -8\), \( \text{GTLN} = \frac{9}{2}\).
4. Trên đoạn \([0;2]\): \( \text{GTNN} = -20\), \( \text{GTLN} = 0\).
5. \(m\) để phương trình có 8 nghiệm nằm trong khoảng \(-\frac{3}{4} < m < \frac{15}{4}\).