Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = x^2 + x^3 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tìm các điểm cực trị**:
- Các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) xảy ra khi đạo hàm \( f'(x) = 0 \).
- Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
x^2 + x^3 = 0
\]
- Rút gọn phương trình:
\[
x^2 (1 + x) = 0
\]
- Giải phương trình này:
\[
x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 + x = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
\]

Vậy, các điểm nghi ngờ là \( x = 0 \) và \( x = -1 \).

2. **Xác định tính chất của các điểm nghi ngờ**:
- Để xác định tính chất của các điểm này (cực đại hay cực tiểu), ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai \( f''(x) \).

- Tính đạo hàm bậc hai của \( f(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) = \frac{d}{dx}(x^2 + x^3) = 2x + 3x^2
\]

- Xét tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = -1 \):

- **Tại \( x = 0 \)**:
\[
f''(0) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0
\]
Đạo hàm bậc hai tại \( x = 0 \) bằng 0, do đó cần xét thêm điều kiện khác để xác định tính chất của điểm này.

- **Tại \( x = -1 \)**:
\[
f''(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1)^2 = -2 + 3 = 1
\]
Vì \( f''(-1) > 0 \), điểm \( x = -1 \) là điểm cực tiểu.

3. **Kiểm tra tính chất tại điểm \( x = 0 \)**:
- Để xác định tính chất tại \( x = 0 \), ta cần xét thêm. Một cách đơn giản là kiểm tra dấu của \( f'(x) \) gần điểm \( x = 0 \):
\[
f'(x) = x^2 + x^3 = x^2(1 + x)
\]
- Khi \( x < 0 \), \( x^2 > 0 \) và \( 1 + x < 1 \), do đó \( f'(x) < 0 \) khi \( x < 0 \) và gần \( x = 0 \).
- Khi \( x > 0 \), \( x^2 > 0 \) và \( 1 + x > 1 \), do đó \( f'(x) > 0 \) khi \( x > 0 \) và gần \( x = 0 \).

Vì vậy, \( x = 0 \) là điểm cực đại.

4. **Kết luận**:
- Hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực trị:
- Một điểm cực đại tại \( x = 0 \).
- Một điểm cực tiểu tại \( x = -1 \).

Do đó, số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) là **2**.