Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ xác định vị trí các điểm và tính toán các đại lượng theo yêu cầu. Cho tam giác $ABC$ với các kích thước như sau:

- $AB = 7$
- $AC = 5$
- $BC = 8$

Đầu tiên, chúng ta xác định tọa độ các điểm $A, B, C$.

### 1. Đặt tọa độ các điểm

Giả sử:
- $A(0, 0)$
- $B(7, 0)$
- $C(x_C, y_C)$

### Tính tọa độ của điểm C:

Dùng định lý Cosine calcula $C$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC)$

### 2. Áp dụng lại để tính độ dài:

- $AC = 5$, $AB = 7$, $BC = 8$
- Từ đó, tính điện cosine:
$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(BAC)$

Kết quả sẽ cho cos:
$64 = 49 + 25 - 70 \cdot \cos(BAC) \\ 64 = 74 - 70 \cdot \cos(BAC) \\ 70 \cdot \cos(BAC) = 10 \\ \cos(BAC) = \frac{1}{7}$
Từ cos này, suy ra mức độ của góc BAC có thể dùng định lý sine hoặc tính trực tiếp bằng định lý Pythagore tương tự.

### 3. Tính các vector và góc

**a. Tính vector $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$**:
- Vector $\vec{CA} = A - C$
- Vector $\vec{CB} = B - C$
- Tính tích vô hướng.

**b. Góc $ACD$**:
- Tìm $D$ sao cho tam giác $ACD$ cân tại $C$, từ đó suy ra tính chất của góc.

**c. Vector $\vec{AE}$ và $\vec{DH}$**:
- Xác định $E$, là trung điểm của $MH$ và dùng vị trí để đánh giá vector.

**d. Tính $CP$**:
- $P$ là chân đường phân giác, sử dụng tỉ lệ phân giác cho các đoạn thẳng để xác định độ dài.

### Kết luận

Thực hiện từng bước với các hình vẽ đặt tọa độ để tính toán thứ tự dễ dàng hơn, là phương pháp cơ bản. Đưa ra kết quả cuối cùng sau khi đã xác định tọa độ các điểm bằng công thức trên.

Chúc bạn thành công trong việc tính toán và làm rõ bài toán này!