Để phân tích và rút gọn biểu thức \( 16y^2 - 8y + 1 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. **Xác định kiểu biểu thức:**

Biểu thức \( 16y^2 - 8y + 1 \) là một đa thức bậc hai với dạng tổng quát là \( ay^2 + by + c \), trong đó:

- \( a = 16 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = 1 \)

### 2. **Kiểm tra khả năng phân tích:**

Để phân tích biểu thức này, chúng ta có thể thử phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc hoàn thành bình phương.

#### **Phân tích thành nhân tử:**

Biểu thức có thể được phân tích dưới dạng bình phương của một nhị thức:

\[ 16y^2 - 8y + 1 \]

**Nhận diện bình phương hoàn chỉnh:**

Biểu thức \( 16y^2 - 8y + 1 \) có thể viết lại dưới dạng bình phương của một nhị thức. Để làm điều này, ta kiểm tra xem có thể viết nó dưới dạng \( (ay + b)^2 \).

- Xét \( (4y - \frac{1}{2})^2 \):

\[ (4y - \frac{1}{2})^2 = (4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 \]

\[ = 16y^2 - 4y + \frac{1}{4} \]

- Biểu thức cần phân tích là \( 16y^2 - 8y + 1 \). Để làm cho dạng \( (4y - \frac{1}{2})^2 \) bằng \( 16y^2 - 8y + 1 \), ta có thể thấy rằng:

\[
16y^2 - 8y + 1 = \left(4y - \frac{1}{2}\right)^2
\]

So sánh các hệ số để kiểm tra lại:

\[
(4y - \frac{1}{2})^2 = 16y^2 - 4y + \frac{1}{4}
\]

Đúng hơn là:

\[
16y^2 - 8y + 1 = \left(4y - 1\right)^2
\]

(Điều này sai trong trường hợp này, do đó, hãy thử lại với dạng bình phương chính xác hơn.)

### 3. **Hoàn thành bình phương:**

Ta thử hoàn thành bình phương để kiểm tra kết quả chính xác:

\[
16y^2 - 8y + 1
\]

- Chia \( -8y \) thành hai phần: \( -8y = -4y - 4y \)

- Nhóm các hạng tử:

\[
16y^2 - 8y + 1 = (16y^2 - 8y + 1)
\]

- Phân tích lại:

\[
16y^2 - 8y + 1 = (4y - 1)^2
\]

### **Kết quả:**

Biểu thức \( 16y^2 - 8y + 1 \) có thể được viết dưới dạng:

\[
16y^2 - 8y + 1 = (4y - 1)^2
\]

Vì vậy, \( 16y^2 - 8y + 1 \) chính là bình phương của \( (4y - 1) \).