### Phương trình: \(\cos(3x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

#### 1. Tổng các nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\)

Ta xét phương trình \(\cos(3x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Dựa trên nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác, ta có:

\[
3x = 2k\pi \pm \theta + \pi
\]

với \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) dẫn đến \( \theta = \frac{\pi}{6} \).

#### Nghiệm tổng quát:
\[
x = \frac{2k\pi \pm \frac{\pi}{6} + \pi}{3}
\]

#### 2. Nghiệm dương nhỏ nhất trong \([0; \frac{5\pi}{2}]\)

Ta tính nghiệm nhỏ nhất trong miền này bằng cách tìm nghiệm \( x \) dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình trên.

Cách tính:
- **Nghiệm trong khoảng (-π/2; 0)**: Tìm các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện.
- **Nghiệm nhỏ nhất trong [0; 5π/2]**: Sử dụng công thức nghiệm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Hãy để mình thực hiện tính toán và đưa ra các giá trị chính xác.

### Kết quả:

1. **Tổng các nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\)**:
- Nghiệm của phương trình trong khoảng này là:
\[
x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\arctan(\sqrt{2})}{3}
\]
và
\[
x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\arctan(\sqrt{2})}{3}
\]

Tổng hai nghiệm này là:
\[
-\frac{\pi}{3} - \frac{\arctan(\sqrt{2})}{3} + \left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\arctan(\sqrt{2})}{3}\right) = -\frac{2\pi}{3}
\]

2. **Nghiệm dương nhỏ nhất trong khoảng \([0; 5\pi/2]\)**:
- Nghiệm dương nhỏ nhất là:
\[
x = \frac{\pi}{3} - \frac{\arctan(\sqrt{2})}{3}
\]

Nếu cần tính giá trị số cụ thể hoặc thêm bước phân tích, mình sẽ hỗ trợ tiếp.

Để giải phương trình \( \cos(3x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \), chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu của đề bài.

### (a) Tính tổng các nghiệm trong khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, 0) \)

#### Bước 1: Giải phương trình

Phương trình \( \cos(3x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) có thể được viết lại dưới dạng:
\[
3x = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = -\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2k\pi
\]
với \( k \in \mathbb{Z} \).

Giá trị \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) có thể được tính bằng cách tìm góc mà cosin bằng \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Ta biết rằng:
\[
\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{và} \quad \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
\]

Do đó, ta có các nghiệm:
\[
3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(1)}
\]
\[
3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(2)}
\]

#### Bước 2: Tính nghiệm cho mỗi trường hợp

Chia các nghiệm cho \( 3 \):
1. Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}
\]
2. Từ (2):
\[
x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}
\]

#### Bước 3: Tìm giá trị của \( k \)

Chúng ta cần tìm \( x \) thuộc khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, 0) \).

- Với \( k = -1 \):
- Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{7\pi}{18} \quad (\text{ok, trong khoảng})
\]

- Từ (2):
\[
x = \frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{5\pi}{18} \quad (\text{ok, trong khoảng})
\]

- Với \( k = 0 \):
- Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} \quad (\text{không hợp lệ, vì > 0})
\]

- Từ (2):
\[
x = \frac{7\pi}{18} \quad (\text{không hợp lệ, vì > 0})
\]

#### Bước 4: Tính tổng các nghiệm

Các nghiệm trong khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, 0) \) là:
- \( x_1 = -\frac{7\pi}{18} \)
- \( x_2 = -\frac{5\pi}{18} \)

Tổng các nghiệm:
\[
S = -\frac{7\pi}{18} - \frac{5\pi}{18} = -\frac{12\pi}{18} = -\frac{2\pi}{3}.
\]

### (b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất trong khoảng \( [0, \frac{5\pi}{2}] \)

#### Bước 1: Tính nghiệm dương

- Với \( k = 0 \):
- Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} \quad (\text{dương})
\]

- Từ (2):
\[
x = \frac{7\pi}{18} \quad (\text{dương})
\]

- Với \( k = 1 \):
- Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{17\pi}{18} \quad (\text{dương})
\]

- Từ (2):
\[
x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{19\pi}{18} \quad (\text{dương})
\]

- Với \( k = 2 \):
- Từ (1):
\[
x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{29\pi}{18} \quad (\text{lớn hơn } \frac{5\pi}{2}).
\]

Như vậy, các nghiệm dương là:
- \( \frac{5\pi}{18} \)
- \( \frac{7\pi}{18} \)
- \( \frac{17\pi}{18} \)
- \( \frac{19\pi}{18} \)

#### Bước 2: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

Nghiệm dương nhỏ nhất trong khoảng \( [0, \frac{5\pi}{2}] \) là:
\[
\text{Nghiệm nhỏ nhất} = \frac{5\pi}{18}.
\]

### Kết quả:

(a) Tổng các nghiệm trong khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, 0) \) là \( -\frac{2\pi}{3} \).

(b) Nghiệm dương nhỏ nhất trong \( [0; \frac{5\pi}{2}] \) là \( \frac{5\pi}{18} \).