Để giải phương trình giá trị tuyệt đối \( |2x + 1| = |3 - x| \), chúng ta sẽ xét các trường hợp khác nhau dựa trên định nghĩa của giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xét các trường hợp dựa trên định nghĩa của giá trị tuyệt đối

Phương trình \( |2x + 1| = |3 - x| \) có thể được giải bằng cách xét các trường hợp sau:

1. **Trường hợp 1:** \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x \geq 0\)

2. **Trường hợp 2:** \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x < 0\)

3. **Trường hợp 3:** \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x \geq 0\)

4. **Trường hợp 4:** \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x < 0\)

### Trường hợp 1: \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x \geq 0\)

Khi \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x \geq 0\), phương trình \( |2x + 1| = |3 - x| \) trở thành:

\[
2x + 1 = 3 - x
\]

Giải phương trình này:

\[
2x + 1 = 3 - x
\]

\[
2x + x = 3 - 1
\]

\[
3x = 2
\]

\[
x = \frac{2}{3}
\]

Kiểm tra điều kiện:

\[
2 \cdot \frac{2}{3} + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \geq 0
\]

\[
3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \geq 0
\]

Vì điều kiện thỏa mãn, \( x = \frac{2}{3} \) là nghiệm hợp lệ.

### Trường hợp 2: \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x < 0\)

Khi \(2x + 1 \geq 0\) và \(3 - x < 0\), phương trình trở thành:

\[
2x + 1 = -(3 - x)
\]

Giải phương trình này:

\[
2x + 1 = -3 + x
\]

\[
2x - x = -3 - 1
\]

\[
x = -4
\]

Kiểm tra điều kiện:

\[
2 \cdot (-4) + 1 = -8 + 1 = -7 < 0
\]

\[
3 - (-4) = 3 + 4 = 7 \geq 0
\]

Vì điều kiện không thỏa mãn, \( x = -4 \) không phải là nghiệm hợp lệ.

### Trường hợp 3: \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x \geq 0\)

Khi \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x \geq 0\), phương trình trở thành:

\[
-(2x + 1) = 3 - x
\]

Giải phương trình này:

\[
-2x - 1 = 3 - x
\]

\[
-2x + x = 3 + 1
\]

\[
-x = 4
\]

\[
x = -4
\]

Kiểm tra điều kiện:

\[
2 \cdot (-4) + 1 = -8 + 1 = -7 < 0
\]

\[
3 - (-4) = 3 + 4 = 7 \geq 0
\]

Vì điều kiện thỏa mãn, \( x = -4 \) là nghiệm hợp lệ.

### Trường hợp 4: \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x < 0\)

Khi \(2x + 1 < 0\) và \(3 - x < 0\), phương trình trở thành:

\[
-(2x + 1) = -(3 - x)
\]

Giải phương trình này:

\[
-2x - 1 = -3 + x
\]

\[
-2x - x = -3 + 1
\]

\[
-3x = -2
\]

\[
x = \frac{2}{3}
\]

Kiểm tra điều kiện:

\[
2 \cdot \frac{2}{3} + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \geq 0
\]

\[
3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \geq 0
\]

Vì điều kiện không thỏa mãn, \( x = \frac{2}{3} \) không phải là nghiệm hợp lệ trong trường hợp này.

### Kết luận

Các nghiệm của phương trình \( |2x + 1| = |3 - x| \) là:

\[
x = \frac{2}{3} \text{ và } x = -4
\]