### a. Xét tính tăng giảm của dãy \( U_n = \frac{n}{n^2 + 1} \)

Để xét tính tăng giảm của dãy số \( U_n \), ta xét \( U_n \) và \( U_{n+1} \):

\[
U_n = \frac{n}{n^2 + 1}
\]

\[
U_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}
\]

So sánh \( U_n \) và \( U_{n+1} \):

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1}
\]

Đưa về mẫu chung:

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{(n+1)(n^2 + 1) - n(n^2 + 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}
\]

\[
= \frac{n^3 + n + n^2 + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}
\]

\[
= \frac{-n^2 - n + 1}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}
\]

Dễ thấy rằng tử số \( -n^2 - n + 1 \) là âm cho \( n \geq 2 \). Do đó, \( U_{n+1} - U_n < 0 \) khi \( n \geq 2 \).

**Kết luận:** \( U_n \) là dãy giảm khi \( n \geq 2 \).

### b. Xét tính tăng giảm của dãy \( U_n = \frac{1}{2n^2 - 3} \)

Để xét tính tăng giảm của dãy số \( U_n \), ta xét \( U_n \) và \( U_{n+1} \):

\[
U_n = \frac{1}{2n^2 - 3}
\]

\[
U_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)^2 - 3} = \frac{1}{2n^2 + 4n + 2 - 3} = \frac{1}{2n^2 + 4n - 1}
\]

So sánh \( U_n \) và \( U_{n+1} \):

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{1}{2n^2 + 4n - 1} - \frac{1}{2n^2 - 3}
\]

Đưa về mẫu chung:

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{(2n^2 - 3) - (2n^2 + 4n - 1)}{(2n^2 + 4n - 1)(2n^2 - 3)}
\]

\[
= \frac{-4n + 2}{(2n^2 + 4n - 1)(2n^2 - 3)}
\]

Tử số \( -4n + 2 \) là âm cho \( n \geq 1 \).

**Kết luận:** \( U_n \) là dãy giảm.

### c. Xét tính tăng giảm của dãy số \( U_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \)

Dãy số này là tổng của các số hạng dạng \(\frac{1}{k(k+1)}\), có thể viết lại bằng phân tích thành:

\[
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
\]

Do đó:

\[
U_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
\]

Khi cộng lại, các hạng tử trong chuỗi hủy bỏ nhau, và ta còn lại:

\[
U_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\]

**Kết luận:** \( U_n = \frac{n}{n+1} \) là một dãy số tăng vì \(\frac{n}{n+1}\) tăng khi \(n\) tăng.