Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 1 \) và \( AC = 2 \). Đặt các tọa độ của các điểm như sau:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(1, 0) \)
- \( C(0, 2) \)

### Bước 1: Tìm vectơ \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) và \( \vec{AM} \)

- Vectơ \( \vec{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \)
- Vectơ \( \vec{AC} = C - A = (0, 2) - (0, 0) = (0, 2) \)

### Bước 2: Tìm điểm \( M \)

Theo điều kiện đã cho trong bài toán, ta cần tìm một điểm \( M(x, y) \) sao cho

\[
\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{AM}
\]

Tức là:

\[
(0, 2) - (1, 0) = (x, y) - (0, 0)
\]

### Bước 3: Tính toán vectơ

Trước tiên, tính vectơ bên trái:

\[
\vec{AC} - \vec{AB} = (0, 2) - (1, 0) = (-1, 2)
\]

Vậy ta có:

\[
(-1, 2) = (x, y)
\]

### Bước 4: Tính tọa độ của \( M \)

Từ phương trình trên, ta có:

\[
x = -1, \quad y = 2
\]

Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( M(-1, 2) \).

### Bước 5: Tính độ dài vectơ \( |AM| \)

Tính độ dài vectơ \( \vec{AM} \):

\[
|AM| = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

### Bước 6: Liên hệ độ dài với \( \sqrt{a} \)

Theo yêu cầu của bài toán, ta thấy:

\[
|AM| = \sqrt{a} \Rightarrow \sqrt{5} = \sqrt{a}
\]

### Kết luận

Vậy ta có:

\[
a = 5
\]

Tóm lại, giá trị của \( a \) là \( \boxed{5} \).