### Bài toán
Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\), \(CA\), và \(AB\). Chứng minh rằng \(PB + MC = AN\) và \(BM + CN + AP = 0\).

### Lời giải

#### Sử dụng vector để giải bài toán:

Đặt các vector \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), và \(\vec{C}\) tương ứng là các vector vị trí của các điểm \(A\), \(B\), và \(C\).

Gọi các điểm \(M\), \(N\), và \(P\) là trung điểm của các cạnh \(BC\), \(CA\), và \(AB\), chúng ta có:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2}, \quad \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]

#### Chứng minh \(PB + MC = AN\):

Xét các vector \(\vec{PB}\), \(\vec{MC}\), và \(\vec{AN}\):

- \(\vec{PB} = \vec{B} - \vec{P} = \vec{B} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}\)
- \(\vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} = \vec{C} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2}\)
- \(\vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2}\)

Bây giờ, ta cộng hai vector \(\vec{PB}\) và \(\vec{MC}\):

\[
\vec{PB} + \vec{MC} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{A} + \vec{C} - \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} = \vec{AN}
\]

Vậy, ta có \(PB + MC = AN\).

#### Chứng minh \(BM + CN + AP = 0\):

Xét các vector \(\vec{BM}\), \(\vec{CN}\), và \(\vec{AP}\):

- \(\vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{B} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2}\)
- \(\vec{CN} = \vec{N} - \vec{C} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} - \vec{C} = \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2}\)
- \(\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}\)

Ta cộng ba vector này lại:

\[
\vec{BM} + \vec{CN} + \vec{AP} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} + \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]

Biểu thức trên có thể viết lại như sau:

\[
\vec{BM} + \vec{CN} + \vec{AP} = \frac{(\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{A} - \vec{C}) + (\vec{B} - \vec{A})}{2} = \frac{0}{2} = 0
\]

Vậy, ta có \(BM + CN + AP = 0\).

### Kết luận

Ta đã chứng minh được:
- \(PB + MC = AN\)
- \(BM + CN + AP = 0\)