Để giải bài toán giới hạn \(\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 1}{5^n}\), ta có thể làm theo các bước sau:

### Giới hạn cần tính

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 1}{5^n}
\]

### Phân tích biểu thức

Ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho \(5^n\):

\[
\frac{5^n - 1}{5^n} = \frac{5^n}{5^n} - \frac{1}{5^n}
\]

### Tính từng phần

1. **Phần tử số:**

\[
\frac{5^n}{5^n} = 1
\]

2. **Phần mẫu số:**

\[
\frac{1}{5^n}
\]

Khi \(n \to \infty\), \(5^n \to \infty\), do đó \(\frac{1}{5^n} \to 0\).

### Kết quả

Khi \(n \to \infty\), ta có:

\[
\frac{5^n - 1}{5^n} = 1 - \frac{1}{5^n} \to 1 - 0 = 1
\]

### Kết luận

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 1}{5^n} = 1
\]

Vậy giới hạn của biểu thức \(\frac{5^n - 1}{5^n}\) khi \(n\) tiến đến vô cùng là **1**, không phải 5. Có thể có sự nhầm lẫn trong bài toán hoặc sự hiểu nhầm về kết quả.