Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn phương trình \( |x - 2024| + |x - 2025| + |x - 2026| = 2 \), ta sẽ xem xét các trường hợp dựa trên giá trị của \( x \) so với các mốc 2024, 2025, và 2026.

### Các trường hợp:
1. **Trường hợp 1: \( x < 2024 \)**
Khi đó:
\[
|x - 2024| = 2024 - x, \quad |x - 2025| = 2025 - x, \quad |x - 2026| = 2026 - x
\]
Tổng:
\[
(2024 - x) + (2025 - x) + (2026 - x) = 6075 - 3x
\]
Đặt \( 6075 - 3x = 2 \), ta có:
\[
3x = 6073 \implies x = \frac{6073}{3} \quad (\text{không nguyên})
\]

2. **Trường hợp 2: \( 2024 \leq x < 2025 \)**
Khi đó:
\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = 2025 - x, \quad |x - 2026| = 2026 - x
\]
Tổng:
\[
(x - 2024) + (2025 - x) + (2026 - x) = 4050 - x
\]
Đặt \( 4050 - x = 2 \), ta có:
\[
x = 4048 \quad (\text{không thỏa điều kiện } 2024 \leq x < 2025)
\]

3. **Trường hợp 3: \( 2025 \leq x < 2026 \)**
Khi đó:
\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = x - 2025, \quad |x - 2026| = 2026 - x
\]
Tổng:
\[
(x - 2024) + (x - 2025) + (2026 - x) = x - 2023
\]
Đặt \( x - 2023 = 2 \), ta có:
\[
x = 2025
\]

4. **Trường hợp 4: \( x \geq 2026 \)**
Khi đó:
\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = x - 2025, \quad |x - 2026| = x - 2026
\]
Tổng:
\[
(x - 2024) + (x - 2025) + (x - 2026) = 3x - 6075
\]
Đặt \( 3x - 6075 = 2 \), ta có:
\[
3x = 6077 \implies x = \frac{6077}{3} \quad (\text{không nguyên})
\]

### Kết luận:
Giá trị nguyên duy nhất của \( x \) thỏa mãn phương trình là \( x = 2025 \).

Để giải phương trình

\[
|x - 2024| + |x - 2025| + |x - 2026| = 2,
\]

ta sẽ tiến hành phân tích các trường hợp theo giá trị của \(x\).

### 1. Xác định các điểm cắt

Các điểm cần chú ý là 2024, 2025, và 2026. Chúng ta sẽ xem xét các khoảng tương ứng với các điểm này:

- Khoảng 1: \( x < 2024 \)
- Khoảng 2: \( 2024 \leq x < 2025 \)
- Khoảng 3: \( 2025 \leq x < 2026 \)
- Khoảng 4: \( x \geq 2026 \)

### 2. Phân tích từng trường hợp

**Trường hợp 1: \( x < 2024 \)**

Trong khoảng này, ta có:

\[
|x - 2024| = 2024 - x, \quad |x - 2025| = 2025 - x, \quad |x - 2026| = 2026 - x.
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
(2024 - x) + (2025 - x) + (2026 - x) = 2 \implies 6075 - 3x = 2 \implies 3x = 6073 \implies x = \frac{6073}{3} \approx 2024.33.
\]

Giá trị này không thỏa mãn \( x < 2024 \).

---

**Trường hợp 2: \( 2024 \leq x < 2025 \)**

Trong khoảng này, ta có:

\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = 2025 - x, \quad |x - 2026| = 2026 - x.
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
(x - 2024) + (2025 - x) + (2026 - x) = 2 \implies -x + 2027 = 2 \implies x = 2025.
\]

Giá trị \( x = 2025 \), và \( x = 2025 \) không thuộc vào khoảng mở (2024, 2025).

---

**Trường hợp 3: \( 2025 \leq x < 2026 \)**

Trong khoảng này, ta có:

\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = x - 2025, \quad |x - 2026| = 2026 - x.
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
(x - 2024) + (x - 2025) + (2026 - x) = 2 \implies x - 2023 = 2 \implies x = 2025.
\]

Giá trị \( x = 2025 \) thỏa mãn khoảng \( 2025 \leq x < 2026 \).

---

**Trường hợp 4: \( x \geq 2026 \)**

Trong khoảng này, ta có:

\[
|x - 2024| = x - 2024, \quad |x - 2025| = x - 2025, \quad |x - 2026| = x - 2026.
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
(x - 2024) + (x - 2025) + (x - 2026) = 2 \implies 3x - 6075 = 2 \implies 3x = 6077 \implies x = \frac{6077}{3} \approx 2025.67.
\]

Giá trị này không thỏa mãn \( x \geq 2026 \).

### 3. Kết luận

Kết quả duy nhất cho \( x \) nguyên thỏa mãn phương trình là:

\[
\boxed{2025}.
\]