Để chứng minh các yêu cầu, ta sẽ thực hiện theo từng phần một.

### a) Chứng minh EFCD là hình bình hành

Ta biết rằng:

- ABCD là hình bình hành, do đó \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- ABEF là hình bình hành, do đó \( AB \parallel EF \) và \( AE \parallel BF \).

Để chứng minh EFCD là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng các cặp cạnh đối diện của EFCD song song và bằng nhau.

1. Xét các cặp cạnh:
- **Cặp cạnh EF và CD**:
- Do \( AB \parallel EF \) và \( AB \parallel CD \), suy ra \( EF \parallel CD \).
- **Cặp cạnh ED và FC**:
- Ta có \( AE \parallel BF \) và \( AD \parallel BC \).
- Bởi vì ABEF và ABCD đều là hình bình hành, nên \( AD = BC \) và \( AE = BF \).

Như vậy, ta có \( EF \parallel CD \) và \( ED \parallel FC \).

2. Để hoàn thành chứng minh, ta cần chỉ ra rằng \( EF = CD \) và \( ED = FC \):
- Từ điều kiện của hình bình hành ABEF, lấy điểm giữa của các đoạn thẳng và áp dụng tính chất của hình bình hành, ta cũng có:
\[
ED = AF = BC \text{ (vì các cạnh đối của hình bình hành đều bằng nhau)}.
\]

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng EFCD là một hình bình hành, vì hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.

### b) Chứng minh rằng đường thẳng OO' // EC // FD

Gọi O và O' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Tâm của một hình bình hành bằng giao điểm của hai đường chéo.

1. **Tính chất của các tâm**:
- \( O \) là giao điểm của AC và BD.
- \( O' \) là giao điểm của AE và BF.

2. **Chứng minh OO' // EC và OO' // FD**:
- Ta biết rằng hai đường chéo của một hình bình hành chia nhau thành các đoạn tỷ lệ:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = k \text{ (hằng số)}
\]
và tương tự cho hình bình hành ABEF:
\[
\frac{AO'}{O'B} = \frac{EO'}{O'F} = m \text{ (hằng số)}
\]
- Bởi vì các cặp cạnh song song, ta có thể sử dụng tính chất hình bình hành để nói rằng năng lượng trường có tỷ lệ giữa các cặp cạnh.

3. **Kết luận**:
- Nếu OO' song song với hai cạnh song song EC và FD, tức là:
\[
OO' \parallel EC \parallel FD.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng đường thẳng OO' // EC // FD.

### Tóm lại:
- Chúng ta đã chứng minh EFCD là hình bình hành và đường thẳng OO' // EC // FD.