Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( y = 3\sin x + 4\cos x + 2m - 1 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0, chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Đưa hàm về dạng lượng giác đơn giản hơn

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( 3\sin x + 4\cos x \) dưới dạng \( R\sin(x + \varphi) \):

\[
R\sin(x + \varphi) = 3\sin x + 4\cos x
\]

Ở đây, \( R \) và \( \varphi \) được xác định bởi:

\[
R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

Và

\[
\sin \varphi = \frac{4}{5}, \quad \cos \varphi = \frac{3}{5}
\]

Do đó, ta có thể viết:

\[
3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \varphi)
\]

### 2. Biểu thức của \( y \)

Biểu thức \( y \) trở thành:

\[
y = 5\sin(x + \varphi) + 2m - 1
\]

### 3. Điều kiện để \( y \geq 0 \)

Để \( y \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0, ta cần:

\[
5\sin(x + \varphi) + 2m - 1 \geq 0
\]

Vì \( \sin(x + \varphi) \) có giá trị trong khoảng từ -1 đến 1, nên biểu thức \( 5\sin(x + \varphi) \) sẽ có giá trị trong khoảng từ -5 đến 5.

Vậy điều kiện là:

\[
-5 + 2m - 1 \geq 0
\]

\[
2m - 6 \geq 0
\]

\[
2m \geq 6
\]

\[
m \geq 3
\]

### Kết luận:
Giá trị của \( m \) để \( y \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 là \( m \geq 3 \).