Giả sử chúng ta có tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\), với \(H\) là trung điểm của \(ED\). Chúng ta sẽ phân tích từng phần liên quan đến hình học trong câu hỏi và vẽ sơ đồ tương ứng:

### a. Tứ giác \(AFHN\) là hình chữ nhật

- Để hình thành tứ giác \(AFHN\) là hình chữ nhật, ta cần điều kiện để \(AF \perp FN\) và \(AH \perp FH\).
- Bởi vì \(F\) nằm trên đường vuông góc từ \(H\) đến \(AD\), và \(N\) nằm trên đường vuông góc từ \(H\) đến \(AE\), ta có:
- \(AF \perp AH\)
- \(HN \perp HF\)
- Do đó, \(AFHN\) thỏa mãn tính chất của một hình chữ nhật.

### b. Tam giác \(AHE\) cân tại \(H\)

- Trong tam giác \(AHE\):
- Vì \(H\) là trung điểm của \(ED\), ta suy ra rằng \(AH = HE\) (theo định nghĩa tam giác cân).
- Kết luận: Tam giác \(AHE\) là tam giác cân tại \(H\).

### c. Hình bình hành \(AHEK\)

- Để \(AHEK\) là hình bình hành, ta cần \(AE \parallel HK\) và \(AH \parallel EK\).
- Do \(H\) là trung điểm của \(ED\) và \(K\) là điểm trên đường vuông góc với \(AD\) (giống như \(H\)), ta có thể kết luận rằng \(AE \parallel HK\).
- Kết nối hai điều này, ta có thể nói rằng \(AHEK\) là hình bình hành.

### d. GA // DH

- Ta cần kiểm tra xem \(GA\) có song song với \(DH\) hay không.
- Nếu \(G\) nằm trên đường thẳng nối từ \(A\) đến \(K\) và song song với \(H\), ta có thể nói rằng \(GA \parallel DH\) trong một số trường hợp đúng.

### e. \(G, A, K\) thẳng hàng

- Nếu như \(G\) là một điểm ở trên đường thẳng nối giữa \(A\) và \(K\), và vì là một tam giác vuông, ba điểm này chắc chắn sẽ thẳng hàng.

### Kết luận

Tóm tắt các kết luận:
- Tứ giác \(AFHN\) là hình chữ nhật.
- Tam giác \(AHE\) là tam giác cân tại \(H\).
- Hình \(AHEK\) là hình bình hành.
- \(GA \parallel DH\) và \(G, A, K\) có thể thẳng hàng trong điều kiện phù hợp.

Nếu bạn cần vẽ hay chi tiết hơn về hình vẽ, hãy cho tôi biết!