Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần (a), (b), và (c):

### a) Chứng minh tứ giác APMN là hình thoi

1. **Tam giác ABC cân tại A**:
- Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên có \( AB = AC \).
- Khi đó, đường trung tuyến AM sẽ chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau: \( BM = MC \).

2. **Định nghĩa và tính chất của M**:
- M là trung điểm của BC, do đó \( BM = MC \).
- Ở đây, M cũng nằm trên đường thẳng nối giữa B và C.

3. **Các đường thẳng song song**:
- Đường thẳng MN qua M và song song với AC cắt AB tại N.
- Đường thẳng MP qua M và song song với AB cắt AC tại P.

4. **Chứng minh AM = MP và AN = MN**:
- Vì MN song song với AC, nên \( \triangle AMN \) và \( \triangle AMC \) có độ cao bằng nhau với cùng cạnh AM.
- Tương tự, vì MP song song với AB, nên \( AP = AM \).
- Ta có \( AM = MP \) và \( AN = MN \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, APMN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên APMN là hình thoi.

### b) Tứ giác AKCM là hình gì?

1. **Lấy điểm K** sao cho P là trung điểm của MK:
- Ta có \( P \) là trung điểm của \( MK \), tức là \( MP = PK \).

2. **Chứng minh AKCM là hình bình hành**:
- Ta đã có \( AM = MP \) và \( P \) là trung điểm của \( MK \) nên \( AP = PM \).
- Tương tự, cạnh AC có thể được chứng minh là bằng với cạnh BM vì cả hai đều cắt BM tại M.
- Do đó, tứ giác AKCM sẽ có các cặp cạnh đối bảo nhau và song song, nên AKCM là hình bình hành.

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AKCM là hình vuông

1. **Điều kiện cần**:
- Để tứ giác AKCM trở thành hình vuông, ta cần các góc tại các đỉnh A, K, C, M đều bằng \( 90^\circ \) và các cạnh AK, AC, AM bằng nhau.

2. **Tính chất của tam giác cân**:
- Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AM (cũng là đường cao) sẽ vuông góc với cạnh BC.
- Để AKCM là hình vuông, góc A cần phải 90 độ (tức là AB vuông góc với AC). Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

**Kết luận**:
- Điều kiện để tứ giác AKCM là hình vuông là tam giác ABC phải là tam giác vuông tại A.

### Tóm tắt:
- Tứ giác APMN là hình thoi.
- Tứ giác AKCM là hình bình hành.
- Điều kiện để AKCM là hình vuông là tam giác ABC phải là tam giác vuông tại A.